Transformada de Laplace Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Transformada de Laplace Análise de comportamento de sistemas Extensão natural da transformada de Fourier Novo domínio  s = σ + jΩ Transformada de Fourier Autofunção de senóides complexas Transformada de Laplace Autofunção de exponenciais complexas

Transformada de Laplace Autofunção e autovalor Convoluindo x(t) com um sistema LTI h(t)

Transformada de Laplace Relação com Transformada de Fourier e-σt é um fator de convergência Usado para lidar com sinais descontínuos em FT Lembrar fator de convergência é e-|σ|t Deve-se aplicar o limite σzero Quando σ = zero, temos a FT de x(t)

Transformada de Laplace Definição A partir da definição da FT Em que situações as integrais convergem?

Transformada de Laplace Região de convergência (ROC) Define a existência da integral envolvida na transformada de Laplace no plano s Quais os valores de s que garantem existência de X(s) Convergência absoluta Considere que |ejΩt|=zero para todo t

Transformada de Laplace Exemplos Lembrando Funções de duração finita sempre convergem ROC = todo o plano s

Transformada de Laplace Relação com Transformada de Fourier Se ROC de X(s) contém {σ = zero} x(t) possui FT

Transformada de Laplace Transformada unilateral de Laplace Restrição de funções nulas para t<zero t=0-  X(s) considera o comportamento de x(t) em t=0 ROC sempre estará a direita de todos os pólos finitos de X(s)  x(t) é causal

Transformada de Laplace Transformada unilateral de Laplace Exemplos

Transformada de Laplace Propriedades Linearidade

Transformada de Laplace Propriedades Deslocamento tempo t0>0 para garantir causalidade de y(t) Deslocamento em freqüência

Transformada de Laplace Propriedades Escala no tempo a>0 para garantir causalidade de x(t) Escala em freqüência

Transformada de Laplace Propriedades Modulação Convolução

Transformada de Laplace Propriedades Diferenciação Para o caso de TL bilateral:

Transformada de Laplace Propriedades Diferenciação sucessiva Para o caso de TL bilateral:

Transformada de Laplace Propriedades Diferenciação complexa Integração

Transformada de Laplace Propriedades Teorema do valor inicial Teorema do valor final Desde que todos os pólos de sX(s) localizem-se no semiplano esquerdo do plano s  garantia de convergência

Transformada de Laplace Frações parciais Representação dos sinais por funções racionais de s Fatorando o denominador  raízes de G(s) Determinação dos pólos de G(s)

Transformada de Laplace Frações parciais Fatorando o denominador  raízes de G(s) Determinação dos pólos de G(s) Esta forma de G(s) depende de N>M Ordem do denominador > ordem do numerador Questões: Como encontrar pi? Como encontrar Ki?

Transformada de Laplace Frações parciais Para pólos pi, sem repetição Multiplicidade nula No tempo, temos:

Transformada de Laplace Frações parciais Para pólos pi, com m repetições Multiplicidade m No tempo, temos:

Transformada de Laplace Frações parciais O que fazer quando ordem do numerador é maior ou igual à ordem do denominador (N≥M)? Divisão de polinômios Quociente  funções descontínuas no tempo Resto/Denominador  método das frações parciais

Transformada de Laplace Frações parciais Exemplos