Medidas e Incertezas Experimentais George C. Cardoso

A importância de medir e medir corretamente “Meça o que pode ser medido e faça mensurável o que ainda não pode ser medido” (autor desconhecido, atribuída normalmente a Galileu) Esta filosofia permitiu o surgimento do método científico e desenvolvimento da engenharia e produção em massa. Para pesquisa e desenvolvimento, adota-se o método DMAIC: definir, mensurar, analisar, melhorar e controlar

Vamos medir (contar) o numero de laranjas Quantas laranjas tem aí? Incerteza? Conte de novo algumas vezes? Peça para outra pessoa contar.

Quantas bactérias tem nessa imagem? Conte numa certa região. Conte novamente. Peça para outra pessoa contar. Muda de medida para medida? Qual a variação?

Medir é medir o valor médio (usar múltiplas técnicas para certificar-se). Não há forma melhor que isso, exceto se a quantidade medida puder ser contada.

Por que conhecer a incerteza? Exemplo: Duas medidas de temperaturas do corpo antes e depois da administração de uma drogra: 38.2C and 38.4C Podemos dizer que de fato houve um aumento de temperatura? Depende das incertezas da medida. (38.200.01)C e (38.40 0.01)C - significante (38.20.5)C and (38.4 0.5)C – não significante

Incerteza aleatório vs. sistemático Aleatório (incerteza): tende a variar a cada medida, tanto para mais quanto para menos. Na maioria dos casos forma uma distribuição Gaussiana em torno da média. O erro aleatório está sempre presente nas medidas. O erro aleatório pode ser minimizado fazendo-se muitas médias, melhorando método experimental para minimizar variância e/ou medindo-se a variável em função de outra e fazendo ajuste de curva. Sistemático: erros de calibração e de método. Difícil de detectar. Somas destes erros são somas lineares. ANALISE ESTATISTICA não detecta este erro. Esse erro pode ser detectada utilizando-se métodos alternativos e comparando resultados. Assume-se que não existem enganos nem erros crassos. Supõe-se que o experimentalista é cuidadoso (da mesma forma que se assume que os cálculos num artigo ou relatório cientifico estão corretos, o que nem sempre é verdade.)

Erro aleatório: Precisão vs. Exatidão Fonte: wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Accuracy_and_precision)

Discuta com seu colega a precisão e exatidao de cada figura

Incertezas em vários instrumentos de medida Incerteza de leitura: ½ da menor divisão Qual a incerteza nesse multimetro? Cuidado com Paralaxe: em instrumentos de ponteiros e Reguas. Instrumentos digitais: Ver manual do fabricante. Metade do digito que contém incerteza ou metade Do ultimo digito caso nenhum digito apresentado tenha incerteza.

Incertezas devido a erros Aleatórios e sistemáticos Erros aleatórios, somente True value Erros aleatórios + sistemático Um resultado é exato se o erro sistemático for pequeno Um resultado é preciso se o erros aleatório for pequeno.

Medida da largura da sala (olhômetro) https://support.office.com/en-us/article/Create-a-histogram-b6814e9e-5860-4113-ba51-e3a1b9ee1bbe Resultados escritos em termos Do valor médio e desvio padrão: (9,0 ± 1,4) metros, n = 32 Primeiro escrevemos O desvio padrão com 1 algarismo ou 2 algarismos Significativos no caso do primeiro Dígito ser 1. Valor Médio: Depois, olhando para os algarismos significativos E para a posição da vírgula, se houver, escrevemos O valor da média arredondado até o algarismo correspondente Ao menor algarismo significativo do desvio padrão. Neste exemplo, O menor algarismo significativo do desvio padrão é 4 e fica logo Depois da vírgula. Assim, paramos o arredondamento da média Logo depois da vírgula. = 8,9759 m Desvio padrão da amostra: Resultado medido com a trena: 8,9 metros = 1,3940 m

Nos próximos slides veremos Em áreas técnicas e científicas, não basta saber o valor da medida; precisamos saber qual o grau de confiança e representar corretamente a precisão do valor medido. Nos próximos slides veremos O significado intuitivo da desvio padrão Como somar duas quantidades com incertezas O desvio padrão da média

Desvio Padrão amostral: s Desvio padrão é o valor RMS (valor eficaz, lembrar das integrais) da variação de medida para medida em torno da média. Portanto, as unidades do desvio padrão são as mesmas da quantidade medida. Exemplo: se a medida for em metros, o desvio padrão estará em metros. Desvio padrão É o valor efetivo da variação em torno da média. É determinado como a raiz quadrada da variância.

Variância Vin(t) = 0 (silencio) Vout (t) = 0 (silencio) Microfone Resistencia do Alto-falante: 1 Ohm Vout (t) = 0 (silencio) P(t) = V2/1 = 0

Variância Microfone Resistencia do Alto-falante: Vout (t) ≠ 0 (ruído) 1 Ohm Vout (t) ≠ 0 (ruído) P(t) = V(t)2/1 ≠ 0 O silencio é perturbado por ruído (média zero) Vin(t) = ruído

Valor médio de V(t) = 0 Neste caso o valor médio da quantia Medida é zero. Valor médio de P(t) VARIÂNCIA = Potência RMS do ruído em torno na média

Ilustração: o que significa o desvio padrão? Digamos que temos uma bateria cuja medida de voltagem possui flutuação ou incerteza na medição, representada no circuito abaixo A f.e.m. no resistor R no i-esimo instante (ou medida) vale: E[i] = V + vi Ruído/Incerteza E Mostramos abaixo que a variância (s2 ) de E é igual à potência média do ruído/incerteza < Pruido > e que O desvio padrão s é igual ao valor eficaz (valor médio quadrático – rms) do ruído/incerteza. <PR > = <PV > + <Pruido > E Este termo é também equivalente ao valor eficaz ao quadrado, o valor RMS

Variância s2 de uma medida: “potencia média” da flutuação/ruído da medida, ou valor RMS da variação em torno do valor médio. É uma característica combinada do processo, condições de medida e habilidade dos experimentadores. Medir mais vezes sem fazer nenhuma mudança não vai diminuir a variância/ruído, Mas vai permitir uma melhor caracterização da variância (obter a variância com mais algarismos significativos) A variância tem unidade do quadrado das unidades medidas. Exemplo: se a quantidade medida foi mm, A variância será em mm2 s (a raiz quadrada da variância) é chamado de desvio padrão e tem as mesmas unidades utilizadas na medida.

A f.e.m. no resistor R no i-esimo instante (ou medida) vale: Digamos que temos uma bateria cuja medida de voltagem possui flutuação ou incerteza na medição, representada no circuito abaixo A f.e.m. no resistor R no i-esimo instante (ou medida) vale: E[i] = V + vi Ruído/Incerteza E Mostramos abaixo que a variância (s2 ) de E é igual à potência média do ruído/incerteza < Pruido > e que O desvio padrão s é igual ao valor eficaz (valor médio quadrático – rms) do ruído/incerteza. <PR > = <PV > + <Pruido > E Este termo é também equivalente ao valor eficaz ao quadrado, o valor RMS

Exemplo de uso da representação de variância ( s2 ) Calculando a altura média:   Calculando a variância da amostra:   Desvio padrão: s = 160,87 mm Com quantos dígitos escrever a resposta da medida? Altura = (394 ± 143,88) mm, N = 5; mas não temos toda essa precisão (algarismos significativos) Altura média = ( 39 ± 14)* 10 mm ou ( 39 ± 14) cm, N=5 http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html

Teorema Central do Limite: Ilustração A interpretação da variância depende da distribuição das medidas. Em geral a distribuição tende a uma Gaussiana (teorema central do limite) Teorema Central do Limite: Ilustração Exemplo: Medidas no olhômetro da largura da Sala Ver: JogandoDados-como se acumula a media v2

Quando o histograma dos dados medidos podem ser aproximados por uma Gaussiana: Aproximadamente 68% dos valores medidos estão entre o valor médio e mais ou menos um desvio padrão Aproximadamente 95% dos valores medidos estão entre o valor médio e mais ou menos dois desvios padrão. 68,2 % 95,4 %

Por que escrevemoso desvio padrão com apenas um ou dois algarismos? A incerteza tem sua própria incerteza. A incerteza é derivada da variância; não é possível conhecer a variância precisamente com poucas medidas. Só podemos usar dois algarismos significativos na variância a partir de milhares de pontos experimentais. JogandoDados-como se acumula a media v2.xls

Convergência do valor médio e do desvio padrão para muitas medidas de uma variável aleatória (dado de seis faces, neste caso) Variação da variância ainda é da ordem de 10% até muitas centenas de pontos experimentais (medidas)

Representação do Resultado e Algarismos Significativos: olhar primeiro para a incerteza da medida. Exemplo 1: Incerteza : 0,345  Para < 1000 medidas so teremos um algarismo significativo (máximo 2) Valor Médio: 23,456 Incerteza : 0,3 Valor Médio: 23,5 (note que os números estão arredondados para o numero correto de alg. Sig.) Como escrever: (23,5 ± 0,3) oC Exemplo 2: Incerteza : 15,345   Para < 1000 medidas so teremos um algarismo significativo (máximo 2) Valor Médio: 141,235 Incerteza : 15 (aqui guardamos 2 algarismos significativos porque se arredondássemos para baixo seria uma mudança de 50%, que é maior que a incerteza da incerteza) Valor Médio: 141 (note que os números estão arredondados para o numero correto de alg. Sig.) Como escrever: (141 ± 15) oC

Caso especial de arredondamento (incerteza começando com 1, e N<1000) No caso da incerteza começar com 1 manter 2 alg. Sig. Se a incerteza começar com 2,3,...,9, basta 1 alg. sig. Valor Médio: 23,456 Incerteza : 0,145  0,15 Como escrever: (23,46 ± 0,15) unidades

Exemplos: Supor que os números abaixo são resultado de media de 100 medidas. Como escrever com o alg. Sig. Corretos? (314148 ± 236)*10-5 (12,3213 ± 0,0123) m (9934 ± 903)*10-3 s

Voltando ao problema da medida da largura da sala de aula Obtivemos (9,0 ± 1,4) metros, n = 32 O que é a média verdadeira? A média verdadeira seria a média que encontraríamos se medíssemos um número infinito de vezes, ou seja n  infinito. Isso não conseguimos fazer na prática. Sabemos que o desvio padrão é uma característica do processo de medida. Ele vai se manter da mesma ordem de grandeza do que já temos, ou seja, da ordem de 1 metro, mesmo com n muito grande. Então como saber mais sobre a média da medida? Como estimar a incerteza na média obtida Noutras palavras, se eu repetir esse mesmo experimento (com n = 32), em que intervalo a média vai ficar a média 95% das vezes? A essa resposta conseguimos responder.

Diminuindo a incerteza na média fazendo mais medições: <PT(Ruidos) > = <Pruido1 > + <Pruido1 > + <Pruido1 > Lembrando que a potencia média do ruído é a variância temos: E2 Quando o desvio padrão (sistema/método de medida mesmo) for a mesma s para Todas as medidas, temos que o desvio padrão da média é dado : E1     Calculado de forma similar a média

Desvio padrão da média (erro padrão)  

Efeito de mudar a precisão do sistema de medida (desvio padrão) e o número de pontos experimentais. A seta mostra o valor da média dos gráficos com sigma = 4. Sistema de medida de baixa precisão Sistema de medida de precisão intermediária Sistema de medida de alta precisão (a) (b) (c) Cada histograma acima contém 10 medidas O desvio da média é significativo (ver seta). Com 10 medidas apenas, é preciso um sistema muito bom (baixo sigma) para termos um erro pequeno na média. Todavia, note que se o sistema tem baixo ruído (baixa variância) mesmo com apenas10 medidas obtemos uma média adequada. Cada histograma acima contém 10000 medidas Aqui, mesmo para o sistema de baixa precisão o valor média é muito próximo do valor obtido com o sistema de alta precisão. O desvio padrão da média (Erro padrão) diminui com a raiz quadrada do número de medidas. O objetivo de fazer média de muitas medidas é obter com um sistema de medição ruim (sigma grande) valores similares aos que se obtem com poucas medidas em sistemas de alta precisão (sigma pequeno) [Fig. (b)] Cada histograma acima contém 100 medidas Qual a incerteza da média experimental (Desvio padrão da média)? Depende de sigma. Note que no sistema de baixa precisão a média do histograma ficou longe de 10

Se quiséssemos aumentar a precisão da medida em mais um algarismo significativo, quantas medidas precisaríamos fazer Se x = (9,0 ± 0,4) metros, I.C de 95% para n = 32? Com os dados originais abaixo: Desvio padrão da amostra: Valor Médio: = 1,3940 m = 8,9759 m

Medida do valor médio de uma grandeza: Quantas medidas devemos fazer? Depende de quanto você quer reduzir a incerteza. Usar experimento piloto para ver o nível de “ruído” (variância) dos dados. Usar esse nível de ruído para estimar quantas medidas precisamos fazer para ter o nível de incerteza que procuramos

Erro padrão (desvio padrão da média) (incerteza da média) 68,2 % Se distribuição for Gaussiana: 68% dos experimentos com mesmo N terão média encontrada no intervalo: (<x> ± ) . 95% dos experimentos com mesmo N terão média encontrada no intervalo: (<x> ± 2 ) 95,4 % NOTE: Se o número de medições N  ∞ você encontra a média Verdadeira para o tipo de medida feita.

Voltando a medida da sala (9,0 ± 1,4) metros, n = 32 Obtivemos O valor 1,4 acima é o desvio padrão. Para escrevermos em termos do erro padrão (desvio padrão da média) temos Escrevendo com um único algarismo significativo (pois só são 32 medidas) temos para a largura da parede: x = (9,0 ± 0,2) metros, I.C de 68% Para dois sigma, temos x = (9,0 ± 0,4) metros, I.C de 95% SLIDE IMPORTANTE!!   s

Revendo Conceitos Importantes: Valor Médio Desvio Padrão Erro Padrão (Desvio Padrão da Média)

Os valores medidos concordam ou discordam?   (59 ± 5) m, I.C. 95% (50 ± 5) m I.C. 95% *obviamente que a incerteza não é zero, incertezas sempre se somam – ver no próximo slide:

Incertezas se somam mesmo nas diferenças de valores  

Conceitos importantes para n medidas Variância s2 Desvio padrão s Erro padrão (ou desvio padrão da média) s<x>= s/n Notação (<x> ± s) unidades, n medidas, onde s é o desvio padrão Notação (<x> ± 2s<x>) unid., 95% I.C. , n medidas (usar n>15 ou a correção da curva t de Student) Algarismos significativos: usar 1 ou 2 alg.sig. Para até n ~ centenas Diferença ou soma de valores experimentais: fazer diferença (ou soma) das médias e as incertezas se somam (mesmo em subtração) em quadratura.

Vantagem do uso do erro-padrão em vez do desvio padrão: Mesmo para uma distribuição de valores não normal, o erro padrão fica normal (teorema do limite central) DESVIO PADRÃO: Diferente de uma distribuição gaussiana, 100% dos resultados medido estão entre 1 e 6, sem mudança na frequência relativa. A probabilidade de qualquer resultado é a mesma. Valores distribuição dos valores obtidos com 10 mil jogadas. Veja que a distribuição não é Normal (Gaussiana). Um desvio padrão vale 1,7. Consequência Do Teorema Central do Limite (O limite da soma De distribuições é uma distribuição Normal) for i=1:1000 numberOfThrows = 10000; throws = randi(6, numberOfThrows, 1); sumOfThrows(i) = sum(throws)/numberOfThrows; end hist(sumOfThrows);figure(gcf); DESVIO PADRÃO DA MÉDIA (Erro padrão): Valor da média de uma sequencia 10000 jogadas; sequencia repetida mil vezes para plotar histograma. Assim, para o erro padrão podemos usar os Intervalos de confiança, etc derivados da distribuição Normal.    

Relembrando o TCL : Teorema Central do Limite: Ilustração Exemplo: Medidas no olhômetro da largura da Sala Ver: JogandoDados-como se acumula a media v2

Revendo Conceitos Importantes: Valor Médio Desvio Padrão Erro Padrão (Desvio Padrão da Média) Mesmo para distribuições não Normais o erro padrão segue uma distribuição normal

Graus de Liberdade Para 1 variável, para N medidas, a média terá (N-1) graus de liberdade Para mais de cerca de 15 graus de liberdade, podemos considerar distribuição gaussiana, com um algarismo significativo no erro padrão. Com 15 ou menos graus de liberdade a incerteza cresce muito e usamos uma distribuição mais larga que a Normal

Distribuições com poucos pontos (N<16) As distribuições só são Gaussianas para muitas medidas (número grande de graus de liberdade [df –degrees of freedom]). Na prática, considerando apenas 1 ou 2 algarismos significativos no desvio padrão a Gaussiana começa a valer acima de 16 pontos experimentais. Para menos de 16 pontos experimentais usamos a distribuição chamada t de Student (que é mais larga que a Normal). Isso aumenta a incerteza das medidas. Quando temos apenas uma única medida (zero graus de liberdade) a incerteza experimental é infinita.

Compensando a largura da t-student bicaudal

Exemplo numérico com poucos graus de liberdade (exemplo dos cachorros).  

O valor da altura dos cachorros no experimento piloto ( 39 ± 17,53) cm, 95% I.C. (39 ± 18) cm, 95% I.C. Significa que há 95% de chance da altura média verdadeira de todos os cachorros do mundo estarem entre (39-18) cm e (39 + 18) cm Com a incerteza é grande, porque medimos poucos cachorros, a pergunta frequente é: Quantos cachorros precisamos medir para reduzir em cerca de 3 vezes a incerteza na altura média?

Diminuindo o Desvio Padrao da Media  

Com 500 cachorros medidos Diminuiremos a incerteza de ± 18 cm para cerca de 1,8 cm ou 2 cm O novo valor médio provavelmente (95% de chance) estará nesta faixa: (39 ± 18) cm, 95% I.C. Se medíssemos os 500 cachorros, encontraríamos uma resposta para o valor médio da altura deles que poderia ser, por exemplo: (51 ± 2) cm, 95% I.C. Ou (23 ± 2) cm, 95% I.C. Não sabemos. Os valores acima estão ambos compatíveis com o experimento piloto. Medido 500 cachorros diminuiremos a incerteza

Slides Adicionais (Back up)