ESTATÍSTICA Aula 5

ALGUMAS MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Nas aulas anteriores vimos formas de organizar e representar uma massa de dados. No entanto, muitas vezes deseja-se resumir ainda mais os dados, apresentando um ou mais valores da série toda. Estas medidas podem ser divididas em: medidas de posição e de dispersão.

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO Classificação MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO MÉDIA MEDIANA MODA

Medidas de Posição MÉDIA MODA MEDIANA

MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Não Agrupados MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Não Agrupados A média aritmética, conceito familiar ao leitor, é a soma das observações dividida pelo número delas. Cada amostragem tende a ter diferentes valores de média. A média tem a mesma unidade dos dados avaliados. Medidas como a média, mediana e moda são denominadas parâmetros quando estas caracterizam populações e estatísticas no caso de amostras.

MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Agrupados MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Agrupados Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usa-se a média aritmética dos valores ponderados pelas respectivas freqüências absolutas. Onde: Χi é o centro da classe (Ponto médio) n número total de dados

Medidas de Posição MÉDIA ARITMÉTICA  SIMPLES  a média aritmética, ou média, de um conjunto de N números X1, X2, ...., Xn é definido por: _ X = X1 + X2 + ....... + Xn / n EXEMPLO :  {1, 1, 3, 4, 4} X = 1 + 1+ 3 + 4 + 4 = 13 = 2,6

Tem duas modas, 4 e 7 (bimodal) A Moda é definida como a realização mais frequente do conjunto de valores observados, isto é, o valor mais comum. A moda pode não existir, e mesmo que exista, pode não ser única (bimodal, trimodal, multimodal), de acordo com os exemplos a seguir: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18  moda 9 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 Não tem moda 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 Tem duas modas, 4 e 7 (bimodal)

Cálculo da moda para dados agrupados Passo 1: Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior freqüência) Passo 2: Aplica-se a fórmula Moda = Onde: - Limite inferior da classe modal; - diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior; - diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente posterior; h – amplitude da classe

Cálculo da moda (dados agrupados) Classes 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5  Fi 3 10 17 8 5 43 Passo 1: identificação da classe modal. No caso, trata-se da classe (2-3). Passo 2: aplicação da formula. Moda = Moda =

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIANA Uma alternativa como medida de tendência central é a mediana. A mediana é a realização que ocupa a posição central da série de observações quando estas estão ordenadas segundo suas grandezas (crescente ou decrescente). Geometricamente, a mediana é o valor de X (abscissa) correspondente à vertical que divide o histograma em duas partes de áreas iguais. É mais usada quando os dados apresentam distribuição assimétrica

MEDIANA A mediana é denominada resistente de posição de uma distribuição. Para ilustrar esta resistência, observemos os dados a seguir: 5, 7, 8, 10, 12, 15 Dos quais obtemos média 9,5 e mediana 9,0. Suponha, agora, que modifiquemos o valor 15, que passa a ser 150. Obtemos, então, média 32 enquanto a mediana não se altera.

Mediana para variáveis discretas Assim, se as cinco observações de uma variável discreta forem 3, 4, 7, 8 e 8, a mediana é o valor 7, correspondente à terceira observação. Quando o número de observações é par, usa-se como mediana a média aritmética das duas observações centrais. Assim, se as observações de uma variável são 3, 4, 7, 8, 8 e 9, a mediana é:   Md= 7,5

Mediana variável discreta Exemplo somatório de dados impar Xi Fi Fac 1 2 3 4 5 9 11  - N=11, logo: a mediana será o valor 11+1/2 = 6 elemento. Contêm o sexto elemento Valor 3

Mediana variável discreta Exemplo somatório de dados par Xi Fi Fac 82 5 85 10 15 87 30 89 8 38 90 4 42  - N=42, logo: a mediana será o valor entre 42/2 e (42/2)+1 = valor médio entre as ocorrências 21 e 22 Contem os elementos 21 e 22 Valor médio é 87

Exercícios Determine a média, moda e mediana dos dados abaixo: X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 Y = 2, 3, 4, 5, 6 Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9

Exercícios 1) Considere a seguinte amostra de uma pesquisa feita com 15 consumidores que atribuíram as seguintes notas a uma mercadoria , numa escala de 0 a 100 : 65, 68, 70, 75, 80, 80 ,82 ,85, 90 ,90, 90, 95, 98, 100, 100. Calcular : a) Média Aritmética Simples b) Moda c) Mediana

EXERCÍCIOS De acordo com os dados da tabela, pede-se: Média Mediana Moda 33 35 39 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 57 59 60 61 64 65 66 67 68 69 71 73 74 76 77 78 80 81 84 85 88 89 91 94 97

Exercícios 1) Segue abaixo os dados agrupados de uma sondagem da qualidade de um software. Calcular média , moda e mediana.