CASOS PARTICULARES DE PRISMAS PARALELEPIPEDO E CUBO

Paralelepípedos São prismas cujas bases são paralelogramos. Paralelepípedo Reto-Retângulo Paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo é todo paralelepípedo reto (prisma reto) cujas bases são retângulos.

As suas seis faces são retângulos. AG é uma suas diagonais. Num paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, sendo D a medida de uma de suas diagonais, At sua área total e V o seu volume, têm-se

V = a . b . c 𝐷= 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 At = 2 (ab + ac + bc) 𝑎+𝑏+𝑐 2 = 𝐷 2 + 𝐴 𝑡 Hexaedro Regular (Cubo) É o paralelepípedo reto-retângulo (prisma) cujas seis faces (duas bases e quatro laterais) são quadradas.

Exercícios Num cubo de aresta a, tem-se 𝐴 𝑓 = 𝑎 2 (área da face) 𝐴 𝑡 =6 𝑎 2 (área total) 𝐷=𝑎 3 (𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙) 𝑉= 𝑎 3 (𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒) Exercícios Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura.

Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em 𝑎)14,4% b) 20,0% c) 32,0% d)36,0% e)64,0%

RESOLUÇÃO Se p% for a taxa de redução de altura atual , e lembrando que 1,25 = 5 4 , temos 24.24.40 = 5 4 .24 . 5 4 .24 . 1−𝑝% .40 ⟺ 5 4 . 5 4 . 1−𝑝% =1⟺1−𝑝%= 16 25 0,64 ⟺𝑝%=1−0,64 P%= 0,36 = 36%.

(FUVEST) – Em um bloco retangular (isto é, paralelepípedo reto retângulo) de volume 27 8 as medidas das arestas concorrentes em um mesmo vértices estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é: a 𝒂 𝒒 𝒂.𝒒 Logo 𝑎.𝑎.𝑞. 𝑎 𝑞 = 27 8 𝑎 3 = 27 8 ⟹ 𝑎= 3 8 como a maior medida é 2, tem-se: 3 2 .𝑞=2 ⟹ q = 4 3 ⟹ assim a medida da menor aresta é 3 2 4 3 = 9 8

Exercícios Propostos 1) Calcule a área total de um cubo, sabendo-se que, aumentando de 2 m a sua aresta, o seu volume aumenta de 56 m3. RESOLUÇÃO: 𝑰) 𝑽= 𝒂 𝟑 II) V + 56 = (a + 2)3 V + 56 = a3 + 3a2 . 2 + 3 . a . 4 + 8 a3 + 56 = a3 + 6a2 + 12a + 86a2 + 12a – 48 = 0a2 + 2a – 8 = 0 ⇒ a = 2 m, pois a > 0 III) At = 6 . a2 At = 6 . 22 At = 24 m2

PUC-SP) – Para obter a peça esboçada na figura abaixo, um artesão deve recortar 8 cubos iguais, a partir dos vértices de um bloco maciço de madeira que tem as seguintes dimensões: 25cm × 18cm × 18cm. Se ele pretende que o peso da peça obtida seja 6,603 kg e sabendo que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, a aresta de cada cubo recortado deverá medir, em centímetros,

Resolução Sendo V o volume da peça em centímetros cúbicos e a a medida da aresta do cubo, em centímetros, e interpretando o termo “peso da peça” como “massa da peça”, temos: V = 25.18.18 – 8. 𝒂 𝟑 V=8100-8. 𝒂 𝟑 Como a massa da peça é 6,603kg = 6603g e a densidade da madeira é 0,93 g/ 𝒄 𝟑 : V= 𝟔𝟔𝟎𝟑 𝟎,𝟗𝟑 =𝟕𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎 𝟑 Assim, 8100 – 8. 𝒂 𝟑 =𝟕𝟏𝟎𝟎 𝒂 𝟑 =𝟏𝟐𝟓 a=5 cm