TÉCNICAS DE MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS DE DIVERSAS CIVILIZAÇÕES Arequipa - Perú 03/06/2018 TÉCNICAS DE MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS DE DIVERSAS CIVILIZAÇÕES Multiplicação Hindu PPGEB CAp/UERJ – História da Matemática no Ensino Fundamental prof. Ilydio P. de Sá Mg Jaime Bravo Febres

A multiplicação da Civilização Hindu Arequipa - Perú 03/06/2018 A multiplicação da Civilização Hindu Historicamente se considera indiscutível a procedência hindu para o sistema de numeração decimal e alguns algoritmos para operações. Mg Jaime Bravo Febres

A origem de um dos povos mais importantes da Ásia remonta de meados do segundo milênio antes de Cristo, quando os dravidas iniciaram a ocupação da região da Índia conhecida como Pendjab — ou Punjab, a “região dos cinco rios” — , próximo ao rio Indo e, assim como os harappeanos, que viviam no Paquistão, alcançaram um relativo desenvolvimento a partir do domínio das técnicas de construção de canais de irrigação e consequente controle das cheias dos rios da região. O termo “hindu” é antigo e tem origem persa, que significa “o (povo) que vive do outro lado do rio (Indo)”.

Além disso, é importante citar que os hindus não estão delimitados pelas fronteiras da Índia, como normalmente costumamos ler por aí. Eles constituem um povo comum e que vive espalhado pelos atuais territórios do Paquistão, Nepal, Singapura, Bangladesh e Sri Lanka, entre outros países asiáticos, além dos imigrantes que vivem em outros continentes.

Arequipa - Perú 03/06/2018 Genericamente, em contraste com o severo racionalismo grego, a matemática hindu era considerada intuitiva e prática. Os matemáticos hindus eram interessados em questões numéricas relacionadas a equações determinadas e indeterminadas. Os matemáticos hindus desenvolveram um método de multiplicação através de tábuas quadriculadas. Mais tarde os árabes o levaram para a Europa e ficou conhecido como Método da Gelosia. Mg Jaime Bravo Febres

Janelas com Gelosias

Arequipa - Perú 03/06/2018 O método de multiplicação de números inteiros por Gelosia, utiliza uma grade trançada, como as treliças das janelas. Vejamos um primeiro exemplo. Multiplicar 537 por 24 Vamos construir uma tabela (3 por 2) correspondente, pois um dos números tem 3 e o outro 2 algarismos (Método da Gelosia). Mg Jaime Bravo Febres

Arequipa - Perú 03/06/2018 5 3 7 2 4 Mg Jaime Bravo Febres

Arequipa - Perú 03/06/2018 Traçamos as diagonais dessa tabela (grade) e multiplicamos os algarismos correspondentes. Ao final, somamos os valores que estão em cada diagonal. 5 3 7 1 1 2 4 6 2 2 1 4 2 8 Mg Jaime Bravo Febres

Arequipa - Perú 03/06/2018 5 3 7 1 1 1 2 4 6 2 2 1 2 4 2 8 8 8 8 Mg Jaime Bravo Febres

Arequipa - Perú 03/06/2018 5 3 7 1 1 1 2 4 6 2 2 1 2 4 2 8 8 8 8 Logo, 537 x 24 = 12 888 Mg Jaime Bravo Febres

Arequipa - Perú 03/06/2018 Para justificarmos o método, devemos lembrar que, na multiplicação 537 x 24, temos na realidade (500 + 30 + 7) x (20 + 4). Se aplicarmos a propriedade distributiva, teremos: 500 x 20 = 10 0 0 0 30 x 20 = 6 0 0 7 x 20 = 1 4 0 500 x 4 = 2 0 0 0 30 x 4 = 1 2 0 7 x 4 = 2 8 1 2 8 8 8 Verifique que as somas que obtivemos em cada coluna são exatamente iguais às somas das diagonais do método da Gelosia. Isso nos mostra que os antigos hindus já conheciam o valor posicional dos algarismos no sistema de numeração decimal. Mg Jaime Bravo Febres

Exemplo 2: Multiplicar 6 538 por 547 Arequipa - Perú 03/06/2018 Exemplo 2: Multiplicar 6 538 por 547 Nesse caso, construíam uma grade com 4 colunas e 3 linhas, por conta da quantidade de algarismos dos números envolvidos na operação. Vejamos como ficava essa grade. Mg Jaime Bravo Febres

Arequipa - Perú 03/06/2018 6 538 x 547 6 5 3 8 5 4 7 Mg Jaime Bravo Febres

Arequipa - Perú 03/06/2018 Traçamos as diagonais desses quadradinhos, como mostramos abaixo: 6 5 3 8 5 4 7 Mg Jaime Bravo Febres

Arequipa - Perú 03/06/2018 Dentro de cada quadradinho colocamos os resultados das multiplicações dos algarismos correspondentes da coluna e da linha. Se o resultado for de apenas um dígito deve ser escrito precedido de zero. 5 4 7 6 3 8 3 5 2 5 1 4 4 2 2 2 1 2 3 2 4 5 3 1 2 6 5 Mg Jaime Bravo Febres

Arequipa - Perú Em seguida somamos os algarismos que estão nas mesmas diagonais. Usamos a mesma técnica do “vai um “ que usamos no algoritmo tradicional. Vejamos: 03/06/2018 5 4 7 6 3 8 2 1 1 1 1 3 5 7 6 2 8 6 Mg Jaime Bravo Febres

Arequipa - Perú 03/06/2018 Podemos então concluir que o resultado da multiplicação proposta é: 6 538 x 547 = 3 576 286 Mg Jaime Bravo Febres

Arequipa - Perú 03/06/2018 Métodos como esse, da multiplicação feita pelos hindus e pelos chineses, assim como outras técnicas e algoritmos de outras civilizações, é que mostram toda a riqueza duas importantes tendências da Educação Matemática: A História da Matemática e a Etnomatemática. Mg Jaime Bravo Febres