Perfil de Velocidade em Escoamento Pulsátil O escoamento laminar e permanente de um líquido em um tubo cilíndrico é dado pela equação de Poiseuille: (I) Considerando que: (II) No caso de perfil de velocidades desenvolvido:

Perfil de Velocidade em Escoamento Pulsátil A equação (I) também pode ser escrita por derivação do perfil de velocidade, como: (III) Um modelo mais realístico do escoamento sangüíneo nas artérias considera a propagação de onda em um tubo contendo um fluido viscoso incompressível, admitindo-se em princípio Fluido Newtoniano (conceito escoamento não-permanente). Sendo assim, a equação (III) pode ser generalizada como: (IV)

Perfil de Velocidade em Escoamento Pulsátil O gradiente de pressão (pulso de pressão) tem a forma de uma onda, admitindo-se, normalmente, por simplicidade, na forma de um movimento harmônico simples, que escrito na forma complexa, resulta: (V) freqüência angular em rd/s do movimento oscilatório; freqüência em Hz; complexo conjugado de A; Introduzindo a equação (V) na equação (IV), esta última pode ser escrita da seguinte forma: (VI)

Perfil de Velocidade em Escoamento Pulsátil A equação (VI) pode ser simplificada matematicamente pela substituição: Esta é uma forma da Equação de Bessel (Pipes, 1958), e sua solução, considerando as condições de contornos apropriadas é dada pela equação abaixo: (VII) Onde a expressão na forma: é a função de Bessel de ordem zero e argumento complexo (são tabulados). Nº de Womersley Fração do raio

Perfil de Velocidade em Escoamento Pulsátil Convertendo-se a equação (VII) para o perfil de velocidade (u) e adotando-se as relações acima, obtem-se a seguinte solução: (VIII) A equação (VIII) fornece a velocidade da lâmina líquida para uma fração de raio (y), a partir do eixo do tubo. A solução numérica da equação (VIII) leva em conta quantidades complexas e imaginárias e pode ser feita separando-se as partes real e imaginária (as partes real e imaginárias de função de Bessel de primeira ordem estão tabuladas como função Ber e Bei). Alternativamente, elas podem ser expressas como módulo e fase o que “Womersley considerou mais tratável”. Isto envolve as seguintes substiuições:

Perfil de Velocidade em Escoamento Pulsátil Se a parte real do gradiente de pressão A*eiwt, é também escrita na forma de fase e módulo como Mcos(wt-j) tem-se que: (IX) Pode-se ver que, para a lâmina da parede, r=R e y=1 de modo que M0(y) = M0 e d0 = 0, neste caso: Womersley comprimiu a equação (IX) fazendo as seguintes substituições: Introduzindo os termos:

Perfil de Velocidade em Escoamento Pulsátil de modo que obteve: (X) No caso particular de escoamento permanente: análogo a Soluções da equação (X) para vários valores de a estão mostrados nas figuras 5.1, 5.2, 5.3 e 5.4 – Donald McDonald – “Blood Flow in Arteries”. De modo a visualizar os perfis de velocidade na artéria é necessário somar os perfis dos principais componentes harmônicos, com suas amplitudes e fases apropriadas, juntamente com o perfil parabólico representando a componente do escoamento permanente.