Sistemas de equações lineares Métodos Directos Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos Decomposição LU A=LU L – matriz triangular inferior U – matriz triangular superior Resolução de 1 sistema quadrado Resolução de 2 sistemas triangulares Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos Método de Gauss Pivot – elemento da diagonal akk Para anular os elementos abaixo da diagonal aik Multiplicar (mantêm a.s.) a linha pivot pelo factor Adicionar (mantêm c.d.) a linha obtida à linha i Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Estabilidade do método Solução aproximada de Ax=b Que é solução exacta de Método estável Método instável Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Para o método ser estável Escolha Total de pivot. O maior elemento em valor absoluto da matriz reduzida . Desvantagens : Demora muito tempo a calcular o maior elemento da matriz reduzida em cada iteração. Troca de colunas  troca de variáveis. Não ganha muito em estabilidade quando comparado com o 2ºcaso. Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Para o método ser estável Escolha parcial de pivot (2ºcaso). O maior elemento em valor absoluto da 1ª coluna da matriz reduzida. Vantagens : É rápido determinar o maior elemento em valor absoluto da primeira coluna da matriz reduzida. Não precisa de guardar a ordem das variáveis. Desvantagens : Nem sempre é estável. Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Escolha parcial escalonada O elemento a*ik , da 1ª coluna da matriz reduzida, cuja razão absoluta entre a*ik e o maior elemento, em valor absoluto, da linha i de A é máxima. Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos Condição de um sistema Num sistema mal condicionado uma pequena variação nos dados pode provocar uma grande alteração na solução final Sistema mal condicionado Sistema bem condicionado Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos Como se mede a condição? Se b é exacto: Demonstração: Se A é não singular e Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos Definição de norma ∥.∥:ℂnm→ℜ+0: ∥A∥=0 sse A=0 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos Normas compatíveis Vector Matriz ? ? Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos k – número de condição Se b não é exacto Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos A = M – N e M facilmente invertível A x = b  (M – N) x = b  M x= N x + b  x=M –1 (N x + b) C=M –1 N d=M –1 b Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Métodos Iterativos Exemplo Resolva o sistema (solução exacta xT=(2,-3,-1)) Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos Exemplo (solução exacta xT=(2,-3,-1))   x0 x1 x2 x3 -9 120 363 -4260 -2 -86 2914 -25 -40 851 1076 ║xk-xk-1║ 129 891 4623 Processo divergente Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos Teorema do ponto fixo Para sistemas  (x) = M –1 (N x + b) Cálculo do erro  = ║M-1N║ e 0 <  < 1 (  - constante de Lipschitz) 16 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos Teoremas Se existir uma norma para a qual então o processo é convergente. O processo é convergente sse o raio espectral de C Se (C )>1 o processo é divergente ║C║= ║M-1N ║ <1 Condição suficiente Condição necessária e suficiente (  (C)) <1 (C )=maior valor próprio de C em módulo 17 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Como obter boas fórmulas de recorrência? Os métodos mais comuns usam as submatrizes: 18 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Método de Jacobi M=D N=-(L+U) Condição suficiente de convergência || M-1N || = || D-1(L+U) || < 1 Fórmula de recorrência Resolver cada equação i em ordem a xi C=-D-1(L+U) d=D-1b 19 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos

Condições suficientes de convergência Definição Uma matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (colunas) se Matriz estritamente dominante Jacobi convergente 20 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos