Função Quadrática

Função Quadrática Vamos estudar a função quadrática Qual é a expressão geral da função quadrática? Vê a expressão!

A função quadrática é uma função real de variável real do tipo

Com certeza que já sabes qual é o gráfico de uma função quadrática?! Ainda não chegaste lá? Tens aqui uma pequena ajuda

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Por exemplo: o gráfico de

Vamos procurar algumas propriedades do gráfico de uma função quadrática.

Como vimos o gráfico da função representa uma parábola. Ao considerarmos vários valores para a constante , obteremos um conjunto ou família de parábolas. Vê o exemplo!

Observa os gráficos da função para igual a 3, 1, ½ e -1

Vê a animação e descobre! O que acontece com o gráfico da função quando a constante varia? Vê a animação e descobre! Conclusão!

O que acontece quando é positivo e se aproxima de zero? O que acontece quando é negativo Vê a animação e descobre! Vê a animação e descobre!

Conclusão !

A parábola aproxima-se do eixo de simetria.

Conclusão !

A parábola tende a aproximar-se da recta perpendicular ao eixo de simetria que contém o vértice da parábola.

Ao considerarmos vários valores para a constante , obteremos um conjunto ou família de parábolas.

O que acontece com o gráfico da função quando a constante varia? Vê a animação e descobre! Conclusão!

Para valores positivos de a concavidade da parábola está voltada para cima. Para valores negativos de a voltada para baixo.

Quando variamos os valores de a parábola sofre uma translação segundo o vector OC.

Equação do Vértice de uma Parábola Para sabermos a equação do vértice da parábola é útil transformar a expressão na expressão Assim temos que o vértice da parábola é em que e . Demonstração! Contradomínio!

Demonstração:

Zeros da função quadrática Para determinar os zeros da função quadrática, ou seja, ver para que valores de x é que usamos a fórmula resolvente:

Temos três casos a considerar: A existência de zeros na função quadrática está relacionada com o valor do binómio discriminante: Temos três casos a considerar:

é impossível e, portanto, a função não tem zeros. Se a equação é impossível e, portanto, a função não tem zeros.

Se a função não tem zeros, toma o sinal de para qualquer valor de .

portanto, a função só tem um zero. Se a equação só tem uma solução e, portanto, a função só tem um zero.

Se a função tem um único zero, toma o sinal de para todos os valores de , excepto para o valor em que se anula.

portanto, a função tem dois zeros. Se a equação tem duas soluções e, portanto, a função tem dois zeros.

qualquer ponto exterior a esse intervalo. Se a função tem dois zeros, toma o sinal contrário ao de em qualquer ponto do intervalo cujos extremos são os seus zeros e o sinal de em qualquer ponto exterior a esse intervalo.

Domínio da função quadrática A função quadrática é uma função polinomial e como tal o seu domínio é Por outras palavras, o domínio da função é

Contradomínio da função quadrática O vértice da função quadrática é o ponto de coordenadas (h,k). O contradomínio depende da concavidade da parábola: Voltada para cima Voltada para baixo Recorda!

Qual é o contradomínio da seguinte função? Em geral, D’= [k; + ∞[ em que K é a ordenada do vértice da parábola.

Qual é o contradomínio da seguinte função? Em geral, D’= ] -∞; k] em que K é a ordenada do vértice da parábola.