Prof. Fernando Cardoso cardoso@unir.br 10/03/15 Geometria Espacial Prof. Fernando Cardoso cardoso@unir.br 1

CILINDROS 2

Cilindro Circular  Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.   A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular, limitado de bases C e C’ ou simplesmente cilindro circular.  3

b * a a 90º R é raio da base h é altura g é geratriz eixo R g h g A Fig. mostra um Cilindro Oblíquo. a a 90º

http://www. mrperezonlinemathtutor http://www.mrperezonlinemathtutor.com/CARFILES/Interactive_Surface_Area_Volume_Cylinder.html http://www.mathopenref.com/cylinderoblique.html cilindro ablíquo http://www.mathopenref.com/cylinderarea.html area

Área Lateral e Área total de um cilindro circular reto  A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.  A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja:  Aℓ = 2*π*r*h  A A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:  At = 2*π*r*h + π*r2 + π*r2 → At = 2*π*r*h + 2π*r2  A Volume do cilindro circular  O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela altura h, isto é:  V = π*r2*h 

* * Cilindro Circular Reto ou Cilindro de Revolução A O’ B g h g R R C 1) o eixo é perpendicular aos planos das bases. g h g 2) g = h R R C D O *

Questão 01) Medir o raio e altura da embalem de almôndega a)Achar sua área b) achar seu volume c) Achar r e h de um novo cilindro com mesmo volume encontrado em b mas que tenha h=2r (isto é, h=D) d) calcular a área do novo cilindro encontrado em c e) qual das 2 áreas é maior? f) faça uma análise deste resultado Questão 02 ) a)calcule a área de cilindro de volume fixo de 1L com diâmetro D igual a altura h. b)Calcule a área deste mesmo cilindro de volume 1L mas r=4h c)calcule a área deste mesmo cilindro de volume 1L mas h=4r d) Faça uma classificação do melhor para pior formato. Questão 03) Veja se ocorre as mesmas coisas questão 01 com as latas de milho, atum e extrato de tomate. Faça uma classificação do melhor para o pior formato http://www.netsoc.tcd.ie/~jgilbert/maths_site/applets/further_calculus_and_series/max_min_volume_problems.html

cilindro circular reto  No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ângulo de 90º. No cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.

O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela revolução de 360º de uma região retangular em torno de um eixo. c

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C A B D C

Cilindro de Revolução: A B D C Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Cilindro de Revolução: Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados. A B D C

Qual é a vantagem deste cilindro? Cilindro equilátero  O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro equilátero.  No cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r.  Qual é a vantagem deste cilindro?

Questão 01) Medir o raio e altura da embalem de almôndega a)Achar sua área b) achar seu volume c) Achar r e h de um novo cilindro com mesmo volume encontrado em b mas que tenha h=2r (isto é, h=D) d) calcular a área do novo cilindro encontrado em c e) qual das 2 áreas é maior? f) faça uma análise deste resultado Questão 02 ) a)calcule a área de cilindro de volume fixo de 1L com diâmetro D igual a altura h. b)Calcule a área deste mesmo cilindro de volume 1L mas r=4h c)calcule a área deste mesmo cilindro de volume 1L mas h=4r d) Faça uma classificação do melhor para pior formato. Questão 03) Veja se ocorre as mesmas coisas questão 01 com as latas de milho, atum e extrato de tomate. Faça uma classificação do melhor para o pior formato http://www.netsoc.tcd.ie/~jgilbert/maths_site/applets/further_calculus_and_series/max_min_volume_problems.html 34

cilindro circular reto e oblíquo

é um quadrado  cilindro eqüilátero Seção Meridiana Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro. Seção Meridiana A O’ * B h Se ABCD é um quadrado  cilindro eqüilátero C O * 2R D Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = 2R

Planificação : R x h

Planificação : R x h

Planificação : R x h

Planificação : R x h

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x

Planificação : R h x R 2pR R

CILINDRO O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas. Aplicações práticas: Os cilindros abaixo recomendam alguma aplicação importante em sua vida?

GEOMETRIA ESPACIAL - CILINDRO

Num cilindro, podemos identificar vários elementos: Base É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases. Eixo É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro". Altura A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro". . Área lateral É a medida da superfície lateral do cilindro. Área total É a medida da superfície total do cilindro. Seção meridiana de um cilindro É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Áreas e Volumes At = AL+ 2 Ab V = p R2. h Ab = p R2 Área Base ( Ab ) AL = 2p Rh Área Lateral ( AL ) Área Total ( At ) At = AL+ 2 Ab Volume ( V ) V = p R2. h

Ex.1: A base de um cilindro de revolução é equiva-lente a secção meridiana. Se o raio da base é unitário, então a altura do cilindro é: p 2 e) d) p 2 a) p c) p b) 1 2 (FUVEST-SP)

Ex.2: Dois cilindros, um de altura 4 e outro de altu-ra 6, tem para perímetro de suas bases 6 e 4, respectivamente. Se V1 é volume do primeiro e V2 o volume do segundo, então: a) V1 = V2 b) V1 = 2V2 c) V1 = 3V2 d) 2V1 = 3V2 e) 2V1 = V2 (PUC - RS)

Ex.3: Um cilindro eqüilátero está inscrito em um cubo de volume 27 cm3. Qual o volume do cilindro? 9p 4 cm3 27p 4 cm3 54p cm3 a) c) e) 27p 8 cm3 27p cm3 b) d) (UF-PA)

O que é Volume? O volume de uma figura de 3 dimensões é a quantidade de espaço que ha no interior da mesma Medidas em unidades cúbicas (e.x. cm3)

Exemplo Ache o volume de concreto usado para fazer este tudo

Ache o volume deste sólido

Exercício Ache o volume do sólido abaixo

Conversão de unidades 1cm – 10mm 1m – 100cm 1km – 1000m

Conversão de unidades 1 cm2 = 10 mm x 10 mm =100 mm2 1 m2 = 100 cm x 100 cm = 10 000 cm2 1 m2 = 1000 mm x 1000 mm = 1 000 000 mm2 1 ha = 100 m x 100 m = 10 000 m2 1 km2 = 100 ha

Unidades cúbicas 1 m3 = 1 000 000 cm3 1 cm3 = 1cm x 1cm x 1cm = 10 mm × 10 mm × 10 mm = 1000 mm3 1 m3 = 1m x 1m x 1m = 100 cm × 100 cm × 100 cm = 1 000 000 cm3 1 m3 = 1 000 000 cm3

Capacidade Volume é a medida dos espaço no interior do recipiente Medidas em unidades cúbicas (e.x. cm3) Capacidade é a quantidade de material (usualmente líquido) que o recipiente pode conter. Capacidade é medida em millilitros, litros e kilolitros.

Unidades de Capacidade 1000 mL = 1 L 1000 L = 1 kL 1 cm3 = 1 mL 1,000cm3 = 1000ml = 1L 1 m3 = 1000 L = 1 kL

Examplos = 1.8L = 2300L Converter 1800 mL para L 1800ml = 1800/1000 2.3 m3 para L 1m3 = 1000L (1kL) 2.3m3 = 2.3kL = 2300L

Ex Encontre o volume deste tanque em m3 Ex Encontre o volume deste tanque em m3. Quantos litros ele pode transportar?

Exercício Ache o área do sólido abaixo