Interpretação Geométrica da Derivada, definição e taxa de variação Aula 07 Interpretação Geométrica da Derivada, definição e taxa de variação

Tangente Se uma curva C tiver uma equação e quisermos encontrar a tangente a C em um ponto , consideramos um ponto , onde , e calculamos a inclinação da reta secante PQ: Então aproximamos Q de P, ao longo de C, fazendo tender a .

Graficamente

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Definição A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que passa por P que tem inclinação Desde que esse limite exista.

Exemplo Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto .

Exemplo Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto ou

Definição Se então a inclinação da reta tangente pode ser escrita

Exemplo Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole no ponto .

Velocidade Suponha que é o deslocamento de um objeto a partir da origem no instante (função posição). No intervalo de tempo entre e a variação na posição será . A velocidade média é Velocidade Média

Velocidade A velocidade média coincide com a inclinação da reta secante . A velocidade instantânea é o limite dessa velocidades médias.

Exemplo Suponha que uma bola foi abandonada do posto de observação da torre, 450m acima do solo. Qual a velocidade da bola após 5 segundos? Com qual velocidade a bola chega ao solo?

Derivada A derivada de uma função em um número denotada , é se o limite existir. Também podemos escrever

Exemplo Encontre a derivada da função em um número .

Reta Tangente Exemplos A reta tangente a em é a reta que passa em e tem inclinação . Exemplos Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto (3,-6).

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Taxa de Variação Suponha que seja uma quantidade que depende de outra quantidade . Assim é uma função de , e escrevemos . Se variar de para então uma variação de (incremento de ) corresponde a uma variação de

Taxa de Variação O quociente de diferenças é denominado taxa média de variação de em relação a no intervalo e pode ser interpretado como a inclinação das secante .

Taxa de Variação O limite dessa taxas médias de variação é chamado taxa instantânea de variação de em relação a em , que é interpretada como a inclinação da tangente à curva em .

Taxa de Variação Taxa instantânea de variação A derivada é a taxa instantânea de variação de em relação a , quando .

Exemplos 1) Um fabricante produz peças de fazenda com largura fixa e o custo da produção de metros desse material é . a) Qual o significado da derivada ? Quais suas unidades? b) Em termos práticos, o que significa dizer que c) O que você acha que é maior, ou e

Exemplos 2) Seja a dívida pública bruta canadense no instante t. A seguinte tabela dá os valores aproximados dessa função, fornecendo as estimativas da dívida, em meados do ano, em bilhões de dólares, no período de 1980 a 2000. Interprete e estime os valores de

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