Prof. Marcelo de Oliveira Rosa Sistemas Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Sistemas Definição Entidade que manipula um ou vários sinais (entrada), produzindo um ou vários sinais (saída) Composição: Sinais de entrada Sistema (propriamente dito) Sinais de saída Sistema Sinais de entrada saída

Sistemas Definição Terminologias adicionais Matematicamente Entradas  Excitação  x(t) Saídas  Resposta  y(t) Matematicamente h{} é uma operação realizada sobre uma função x(t) para produzir uma função y(t) h{} x(t) y(t)

Sistemas + Σ Diagrama de Blocos Somador w(t) = x(t) – y(t) + z(t) + -

Sistemas Diagrama de Blocos Amplificador y(t) = K x(t) K y(t) x(t)

Sistemas Diagramas de Blocos Integrador/diferenciador y(t) = ∫ x(τ) dτ (de – ∞ até t) y(t) = dx(t)/dt ∫ y(t) x(t) d/dt y(t) x(t)

Sistemas Exemplos Navegação de barcos Entradas Saída Sistema Empuxo da hélice Posição do leme Direção e velocidade da correnteza Saída Direção do barco Velocidade do barco Sistema Dinâmica dos fluidos Equações do movimento de corpos

Sistemas Exemplos Suspensão automotiva Entradas Saídas Sistema Distância entre roda e solo Saídas Distância entre chassi e chão Sistema Equações dinâmicas de movimento fator de amortecimento energia elástica.

Sistemas Exemplos Ponte Entrada Saída Sistema Direção do vento Velocidade do vento Saída Deslocamento da ponte Sistema Dinâmica dos fluidos Interação entre fluido e estrutura exemplo: Ponte Tacoma

Sistemas Exemplos Corpo humano Entradas Saídas Sistema Dose de medicamento Saídas Concentração da dose no corpo Sistema Equação farmacocinética do medicamento Equação de infusão e eliminação do medicamento

Sistemas Modelagem de sistemas Definir equações que “ligam” as entradas às saídas Geralmente equações integro-diferenciais Equações diferenciais ordinárias (por exemplo) Há sistemas complexos demais para modelagem detalhada Uso de aproximações e simplificações Tratamento estocástico Exemplos

Sistemas Propriedades Resposta com entrada nula Saída do sistema para entrada x(t) = zero Condições de contorno não-nulas Caracteriza efeito da energia inicial do sistema na saída Resposta com condições iniciais nulas Saída do sistema para entrada x(t) ≠ zero Condições de contorno nulas Geralmente energia inicial do sistema é nula

Sistemas Propriedades Resposta total ≠ Respostas com entrada nula + Respostas com condições inicias nulas Existe situações de igualdade EDOs lineares a coeficientes constantes Solução homogênea Solução particular

Sistemas Propriedades Homogeneidade Um sistema é homogêneo quando sua saída é sempre proporcional à sua entrada Condições iniciais nulas

Sistemas Propriedades Aditividade Duas entradas (x1(t) e x2(t)) produzem respostas y1(t) e y2(t), respectivamente, para um sistema H. Condições iniciais nulas O sistema é aditivo se x3(t) [= x1(t) + x2(t)] produzir resposta y3(t) [= y1(t) + y2(t)]

Sistemas Propriedades Linearidade Combinação de homogeneidade e aditividade. Princípio da superposição. “Dividir para conquistar” Método comum a classe de sistemas (lineares)

Sistemas Propriedades Linearidade Como aplicar o método a sistemas não-lineares? Processo de linearização Linearização Equações diferenciais não-lineares exatas transformadas em equações diferenciais lineares aproximadas Adição de restrições para aproximação Exemplo clássico: Pêndulo para pequenos ângulos

Sistemas Propriedades Invariância no tempo Um sistema é invariante no tempo se uma entrada x(t) atrasada/adiantada t0 instantes de tempo produz uma saída atrasada/ adiantada t0 instantes de tempo Condições iniciais nulas

Sistemas Propriedades Linearidade e Invariância no tempo LTI “Linear and time-invariant system” Combinação de linearidade e invariância no tempo Classe específica de sistemas Análise será baseada em relações em excitações específicas Uso de convolução

Sistemas Propriedades Estabilidade O sistema não “explode” Critério BIBO Para qualquer excitação limitada, o sistema produzirá sempre respostas limitadas Condições iniciais nulas

Sistemas Propriedades Estabilidade Para um sistema descrito por uma EDO linear com coeficientes constantes, a solução homogênea (sem excitação) Descrita por combinação linear de exponenciais complexas Exponenciais complexas = autofunções Se Re{autovalores} ≥ zero  sistema instável Se Re{autovalores} < zero  sistema estável Caso particular importante

Sistemas Propriedades Causalidade Um sistema é causal se ele apresenta resposta somente durante ou após a aplicação de alguma excitação. Sistema não-antecipatório Condições iniciais nulas

Sistemas Propriedades Causalidade Causal  Processamento tempo-real Não-causal  processamento off-line Impossibilidade de aplicações em tempo real, pois análise depende do “futuro”.

Sistemas Propriedades Causalidade Exemplo: Mercado de ações e filtro média-móvel.

Sistemas Propriedades Memória Um sistema com memória depende das excitações em instantes anteriores ou posteriores, além da excitação no instante atual. Também chamado sistema dinâmico Um sistema sem memória depende apenas da excitação no instante atual Também chamado sistema estático

Sistemas Propriedades Reversibilidade/Inversibilidade Um sistema é inversível se excitações singulares produzem respostas singulares Condições iniciais nulas Sistema inverso “anula” completamente os efeitos do sistema direto. Idéia de função bijetora

Sistemas Convolução Estado atual: Questão: Sistemas descritos por EDOs Solução completa  soluções particular + homogênea Solução homogênea  combinação linear de autofunções Questão: Podemos analisar o sistema sem considerar excitações e respostas?

Sistemas Convolução Princípio básico Excitação Combinação linear de sinais “elementares” Sistema específico Sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI) Uso do princípio de sobreposição Resposta Combinação linear dos efeitos produzidos pelos sinais “elementares” Sinal elementar  sinal impulso  δ(t)

Sistemas Convolução Sistema original Resposta ao impulso  h(t) F(y, y’, y’’, ..., y(n-1), y(n)) = G(x, x’, x’’, ..., x(m-1), x(m)) y = y(t) e x = x(t) Resposta ao impulso  h(t) A(h, h’, h’’, ..., h(n-1), h(n)) = B(δ, δ’, δ’’, ..., δ(m-1), δ(m)) h = h(t) e δ = δ(t)

Sistemas Convolução Obtenção da resposta ao impulso  h(t) Encontre solução homogênea de h(t)  hh(t) Características da solução particular Derive h(t) até a n-ésima derivada e aplique no lado esquerdo da EDO: deve haver correspondência com todas as derivadas de δ(t) até m-ésima derivada Para t = zero Combinação linear de h(t) e suas derivadas = zero Para t ≠ zero Garantia de solução homogênea “vingar”

Sistemas Convolução Obtenção da resposta ao impulso  h(t) n>m n=m hh(t) u(t) n=m hh(t) u(t) + Kδ δ(t) n<m hh(t) u(t) + [K(m-n)u(m-n)(t) + K(m-n-1)u(m-n-1)(t) + ... + K1u1(t) + K0u0(t)] u0(t) = δ(t), u1(t) = δ’(t), ...

Sistemas Convolução Resposta ao impulso Descrição do sistema para qualquer excitação Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo! Como obter resposta dado h(t) e excitação?

Sistemas Convolução Decomposição de x(t) em soma de pulsos Tp  duração dos pulsos

Sistemas Convolução Decomposição de x(t) em soma de pulsos Combinação linear de pulsos deslocados no tempo.

Sistemas Convolução Pelo princípio da superposição... Válido para sistemas lineares e invariantes no tempo Lembre-se do exemplos dos filtros RC, RL, RLC, LC x(t) = pulso unitário  y(t) = hp(t)

Sistemas Convolução Exemplo Excitação  senóide amortecida Sistema  filtro RC

Sistemas Convolução Exemplo Excitação  senóide amortecida Sistema  filtro RC

Sistemas Convolução Considerando o limite Tpτ Excitação Resposta Qualquer sinal = combinação linear de δ(t) Resposta Integral de convolução

Sistemas Convolução Diagrama de blocos Reforçando y(t) = h(t) * x(t) h(t)  resposta ao impulso do sistema h(t) x(t) y(t)

Sistemas Propriedades da Convolução Em relação à variável τ x(τ) é mantido é mantida fixa h(t – τ) é revertida e deslocada t instante de tempo Reflexão  h(–τ) Atraso no tempo  h(–(τ – t))

Sistemas Propriedades da Convolução Visualização do processo Para cada t “fixo”, calculamos a integral (–∞ a +∞)

Sistemas Propriedades da Convolução Convolução entre dois pulsos unitários

Sistemas Propriedades da Convolução Amostragem do impulso Comutativa Distributiva

Sistemas Propriedades da Convolução Associativa y(t) x(t) w(t) z(t)

Sistemas + Propriedades da Convolução Distributiva y(t)+z(t) x(t) w(t)

Sistemas Propriedades da Convolução Diferenciação Área Escala Se y(t) = x(t)*h(t) Diferenciação Área Escala

Sistemas Propriedades da Convolução Estabilidade Se x(t) é limitado Então Um sistema é estável ser sua resposta ao impulso for absolutamente integrável Existência da convolução

Sistemas Propriedades da Convolução Causalidade Um sistema linear e invariante no tempo é causal se Sistema não-antecipatório Convolução em tempo-real

Sistemas Propriedades da Convolução Memória Um sistema linear e invariante no tempo é estático se: Sistema sem memória

Sistemas Diagrama de Blocos Genericamente Sistema linear e invariante no tempo Pode ser representado por convolução

Sistemas Diagrama de Blocos Usando integradores (forma direta I): ∫ + bn bn-1 bn-2 b1 b0 x(t) ∫ 1/an an-1 an-2 a1 a0 y(t) + –

Sistemas Diagrama de Blocos Pela propriedade de comutação ∫ + ∫ + 1/an x(t) + – ∫ + bn bn-1 bn-2 b1 b0 y(t)

Sistemas Diagrama de Blocos Simplificando (forma direta II) ∫ + bn y(t) ∫ 1/an an-1 an-2 a1 a0 x(t) –