Prof. Marcelo de Oliveira Rosa Seqüências Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Seqüências Representação amostral de um sinal Processo de amostragem Conversor AD (analógico-digital) Decorrente do uso de computadores em: Aquisição via sensores e conversores AD Controle digital Atuação via atuadores e conversores DA

Seqüências Definição onde: x(t) é um sinal/função contínua (t ∈ R) Ta é o período de amostragem n é o instante de tempo (n ∈ Z) n é adimensional Obs: não existe informação em x[n] entre n e n+1

Seqüências Definição Representação gráfica

Seqüência Efeito do período de amostragem

Sequências Efeito do período de amostragem Ao invés de reproduzir x(t) em x[n], reproduzimos outro sinal xT(t) com propriedades espectrais distintas. Aliasing Componentes de baixa-freqüência de x(t) se transformam em componentes de alta-freqüência em xT(t) x(t)  conversão AD  x[n]  conversão DA  xT(t) x(t) ≠ xT (t) Resolução do problema Teorema de Nyquist

Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas onde Incluem-se também

Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas Para todo x(t) periódico, x[n] é periódico? A freqüência de amostragem influencia a periodicidade da seqüência?

Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas Definição de periodicidade x[n] = x[n+N] N ∈ Z* Para seqüência senoidais, f = ω / 2π = m / N x[n] = A cos(ωn + θ) Referência para seqüência senoidal f é razão entre números inteiros (f ∈ Q) Condição para x[n] senoidal ser periódica

Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas Considerando o processo de amostragem Temos: Condição para sinal periódico amostrado produzir seqüência periódica

Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas N = 8, zero ≤ m ≤ 3  zero ≤ f < 0,5

Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas N = 8, 5 ≤ m < 8  0,5 < f < 1 m=8

Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas Padrão senoidal discreto se repete a múltiplos de f Intervalos úteis zero ≤ f < 1 [ciclos/amostra] zero ≤ ω < 2π [radianos/amostra]

Seqüências Seqüências periódicas e não-periódicas Interpretação N  Número de amostras de um período discreto m  Número de ciclos contínuos reproduzidos em um período discreto m/N  Fração do ciclo contínuo usado na amostragem f ou ω  Freqüência discreta

Seqüências Seqüências com “singularidades” Similaridade com sinais singulares Não existe conceito de descontinuidade Representação de fenômenos como Liga-desliga Amostragem Representação matemática de séries numéricas Série de Fourier

Seqüências Seqüências com “singularidades” Delta unitário Ou delta de Kronecker Observe que não há problemas na definição para n=0, como ocorre com o delta de Dirac. Não há problemas de escala como no delta de Dirac δ[an] = δ[n]

Seqüências Seqüências com “singularidades” Degrau unitário Observe que para n=0, u[0] = 1, não havendo problema de definição como em u(t)

Seqüências Seqüências com “singularidades” Sinal unitário Rampa unitária

Seqüências Seqüências com “singularidades” Pulso unitário Note que para qualquer N, o total de amostras é sempre ímpar (2N+1). Como representar um pulso unitário com um total par de amostras?

Seqüências Seqüências com “singularidades” Trem de impulsos unitário

Seqüências Operações básicas Soma e subtração de sinais Multiplicação e quociente de sinais São realizadas amostra-a-amostra Deslocamento temporal Operação de atraso ou avanço de seqüências f[n] = g[n + n0]  f(t) está adiantado em relação a g[n] h[n] = g[t – t0]  h[n] está atrasada em relação a g[n] Escala em amplitude y[n] = α x[n]

Seqüências Operações básicas Escala no “tempo” Escala dos instantes “n” y[n] = x[A n] y[n] = x[n/A] Os resultados da escala no “tempo” para seqüências são equivalentes àqueles obtidos para escala no tempo de sinais?

Seqüências Operações básicas Escala no “tempo” Primeiro caso: compressão ou decimação y[n] = x [A n] Perda de amostras decorrente de n ∈ Z Tal perda não ocorre com y(t) = x(A t) Se a é par apenas amostras em instantes pares serão mantidas

Seqüências Operações básicas Escala no “tempo” Segundo caso: dilatação ou interpolação y[n] = x [n/A] Existência de situações com (n/A) ∉ Z Nesses casos, y[n] é indefinido O que fazer?

Seqüências Operações básicas Escala no “tempo” Segundo caso: dilatação ou “interpolação” y[n] = x [n/A] Existência de situações com (n/A) ∉ Z Nesses casos, y[n] é indefinido Redefinição de escala no “tempo” para “interpolação”

Seqüências Operações básicas Acumulação Semelhante à integração no domínio contínuo Mesma ambigüidade da integração Problema da constante de integração

Seqüências Operações básicas Diferença finita Semelhante à diferenciação no domínio contínuo Pode gerar várias expressões

Seqüências Energia e Potência de Seqüências Equivalente às grandezas de x(t) Estimativa de energia que a seqüência carrega Energia da seqüência Usado quando o somatório converge Seqüências finitas, por exemplo

Seqüências Energia e Potência de Seqüências Potência da seqüência Usado em seqüências periódicas N é um período completo da seqüência Para um instante k qualquer (para facilitar o cálculo)