PREOCUPAÇÃO NÃO RESOLVE OS PROBLEMAS DE AMANHÃ, SÓ TIRA A PAZ DE HOJE! MATEMÁTICA Prof. Wolverine PREOCUPAÇÃO NÃO RESOLVE OS PROBLEMAS DE AMANHÃ, SÓ TIRA A PAZ DE HOJE!

circunferência Elementos Retas Quadriláteros Posições relativas MATEMÁTICA Prof. Wolverine circunferência Elementos Retas Quadriláteros Posições relativas Ângulos Relações métricas

Elementos da circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Elementos da circunferência Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência.

Centro: Ponto equidistante da linha que delimita a região circular. MATEMÁTICA Prof. Wolverine Elementos da circunferência Centro Centro: Ponto equidistante da linha que delimita a região circular.

Raio: Distância do centro a um ponto qualquer da circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Elementos da circunferência Raio Raio: Distância do centro a um ponto qualquer da circunferência

Elementos da circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Elementos da circunferência 𝐀𝐁 =𝐝𝐢â𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨 Diâmetro A B 𝒓= 𝒅 𝟐 𝐝=𝟐∙𝐫 Diâmetro: Segmento de reta que divide a circunferência ao meio, passando pelo centro

Elementos da circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Elementos da circunferência B 𝐀𝐁 =𝐜𝐨𝐫𝐝𝐚 Corda A Corda: Segmento de reta cujas extremidades são dois pontos da circunferência.

α Elementos da circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Arco maior B α Arco maior Arco menor Perímetro:2∙𝜋∙𝑟 (Comprimento)

Retas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Retas na circunferência Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda. Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. B A P

MATEMÁTICA Prof. Wolverine Propriedades das secantes e tangentes Se uma reta r, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante r. B A M O r

MATEMÁTICA Prof. Wolverine Propriedades das secantes e tangentes Se uma reta r, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta r que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB. B A M O r

MATEMÁTICA Prof. Wolverine Propriedades das secantes e tangentes Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. P O r

MATEMÁTICA Prof. Wolverine (PA) = (PB) Propriedades das secantes e tangentes Se duas retas tangentes a uma mesma circunferência se interceptam em um ponto P, exterior a essa circunferência, os segmentos de reta formados pelo ponto P com cada um dos pontos de tangência tem a mesma medida, isto é, são congruentes. P B O A (PA) = (PB) Os triângulos AOP e BOP são retângulos e congruentes

MATEMÁTICA Prof. Wolverine (PA) + (PB)+ (RC) + (RD) = x + y + z + w Propriedades das secantes e tangentes C B O A D x y z w P Q R S Se um quadrilátero está circunscrito em uma circunferência, a soma dos lados opostos são iguais. (PA) + (PB)+ (RC) + (RD) = x + y + z + w (SA) + (SC)+ (QB) + (QD) = x + w + y + z

MATEMÁTICA Prof. Wolverine x + y = 180° z + w = 180° Propriedades das secantes e tangentes Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência, os ângulos opostos são suplementares . O x y z w P Q R S x + y = 180° z + w = 180° x + y + z + w= 360°

ÂNGULOS NA circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine ÂNGULOS NA circunferência

MATEMÁTICA Prof. Wolverine ÂNGULO CENTRAL Ângulo Central: o ângulo que tem como vértice o centro de uma circunferência é chamado ângulo central dessa circunferência. A medida do ângulo central de uma circunferência é igual à medida do arco de circunferência correspondente ao ângulo.

MATEMÁTICA Prof. Wolverine ÂNGULO inscrito Ângulo Inscrito: é o ângulo cujo vértice pertence à circunferência e seus lados são secantes a ela. A medida do ângulo inscrito de uma circunferência é igual à metade da medida do arco de circunferência correspondente ao ângulo.

a MATEMÁTICA Prof. Wolverine 𝛼 2𝛼 𝛼 o ÂNGULO INSCRITO (Demonstração) Traçando o raio e ligando o ponto B ao centro do círculo, criamos o triângulo AOB. B a 𝛼 2𝛼 𝛼 A o O triângulo AOB é isósceles, logo os ângulos da base são iguais. Ângulo central Ângulo externo ao triângulo 2𝛼=𝑎 → 𝛼= 𝑎 2

MATEMÁTICA Prof. Wolverine ÂNGULO inscrito Dois ou mais ângulos inscritos em uma circunferência que possuem o mesmo arco correspondente são congruentes, isto é, tem a mesma medida.

MATEMÁTICA Prof. Wolverine ÂNGULO DE SEGMENTO Ângulo de segmento: é o ângulo cujo vértice pertence à circunferência, um lado é tangente e o outro é secante à circunferência. O ângulo de segmento é um caso particular de ângulo inscrito, tendo as mesmas propriedades.

a MATEMÁTICA Prof. Wolverine 𝛼 A B ÂNGULO DE SEGMENTO (Demonstração) A 180° - a B Traçando o diâmetro dessa circunferência, criamos o ângulo reto em T com o segmento tangente. a 𝛼 180° −𝑎 2 T Temos então os arcos TA = a e AB = 180° - a. ângulo inscrito: metade do arco

a MATEMÁTICA Prof. Wolverine 180° −𝑎 2 + α=90° 𝛼 ÂNGULO DE SEGMENTO (Demonstração) Aplicando a propriedade dos ângulos complementares: 𝛼 a 180° - a 180° −𝑎 2 180° −𝑎 2 + α=90° 180° + a = 2∙(90° + 𝛼) 180° + a = 180° + 2𝛼 α = a 2 2α = a

MATEMÁTICA Prof. Wolverine ÂNGULO DE SEGMENTO Observe que os ângulos α e β possuem o mesmo arco correspondente

MATEMÁTICA Prof. Wolverine ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO Ângulo Excêntrico Interno: é o ângulo cujo vértice é um ponto qualquer interior à circunferência. A medida do ângulo de vértice interno é igual à média aritmética das medidas dos seus arcos correspondentes.

MATEMÁTICA Prof. Wolverine b 𝛼 a C B A ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO (Demonstração) Traçamos a corda AB e criamos o triângulo ABC. b C 𝑎 2 𝛼 a B Ângulo inscrito de arco correspondente a. 𝑏 2 A Ângulo inscrito de arco correspondente b.

MATEMÁTICA Prof. Wolverine b 𝛼 a C α = a 2 + b 2 B A α = a+𝑏 2 ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO (Demonstração) Observe que 𝛼 é ângulo externo do triângulo: 𝛼 a b 𝑎 2 𝑏 2 A B C α = a 2 + b 2 α = a+𝑏 2

MATEMÁTICA Prof. Wolverine ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERNO Ângulo Excêntrico Externo: é o ângulo cujo vértice é um ponto qualquer exterior à circunferência, e seus lados são secantes, ou tangentes, ou ainda um secante e um tangente à circunferência. A medida do ângulo de vértice externo é igual à metade da diferença das medidas dos seus arcos correspondentes.

a MATEMÁTICA Prof. Wolverine 𝛼 b C B 𝑎 2 𝑏 2 A ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERNO Traçamos a corda AB e criamos o triângulo ABC. Ângulo inscrito de arco correspondente a. C B 𝛼 b 𝑎 2 a 𝑏 2 Ângulo inscrito de arco correspondente b. A

a → MATEMÁTICA Prof. Wolverine 𝛼 b α = a 2 − 𝑏 2 ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERNO a 2 é ângulo externo do triângulo: 𝛼 a b 𝑎 2 𝑏 2 a 2 = α + b 2 α = a 2 − 𝑏 2 → α = a −𝑏 2

Posições relativas de duas circunferências MATEMÁTICA Prof. Wolverine Posições relativas de duas circunferências

As circunferências são exteriores MATEMÁTICA Prof. Wolverine Posições relativas entre duas circunferências. r2 C2 r1 dC1C2 C1 dC1C2 > r1 + r2 As circunferências são exteriores

As circunferências são tangentes exteriormente MATEMÁTICA Prof. Wolverine Posições relativas entre duas circunferências. r2 C2 r1 dC1C2 C1 dC1C2 = r1 + r2 As circunferências são tangentes exteriormente

As circunferências são tangentes interiormente MATEMÁTICA Prof. Wolverine Posições relativas entre duas circunferências. C1 r1 dC1C2 C2 r2 dC1C2 = r1 – r2 As circunferências são tangentes interiormente

As circunferências são secantes MATEMÁTICA Prof. Wolverine Posições relativas entre duas circunferências. r1 r2 dC1C2 C1 C2 | r1 – r2 | < dC1C2 < As circunferências são secantes r1 + r2

As circunferências são interiores MATEMÁTICA Prof. Wolverine Posições relativas entre duas circunferências. r1 r2 dC1C2 C2 C1 dC1C2 < r1 – r2 As circunferências são interiores

As circunferências são concêntricas MATEMÁTICA Prof. Wolverine Posições relativas entre duas circunferências. C1 C2 dC1C2 = 0 As circunferências são concêntricas

Relações métricas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Relações métricas na circunferência

x2 = d . m Relações métricas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Relações métricas na circunferência 1ª Relação: O quadrado da medida de uma corda que passa pela extremidade de um diâmetro é igual ao produto da medida do diâmetro pela projeção da corda sobre ele. d m x x2 = d . m

x2 = d . m x2 = 16 . 4 x = x = 8 Exemplo: MATEMÁTICA Prof. Wolverine x 12 4 x x2 = d . m x2 = 16 . 4 x = x = 8

x2 = n . m Relações métricas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Relações métricas na circunferência 2ª Relação: O quadrado da medida de um segmento perpendicular, baixada de um ponto qualquer de uma circunferência sobre um diâmetro, é igual ao produto das medidas dos dois segmentos que essa perpendicular determina sobre o diâmetro. n m x x2 = n . m

x2 = m . n x2 = 12 . 4 x = Relações métricas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Relações métricas na circunferência Exemplo: 12 4 x x2 = m . n x2 = 12 . 4 x =

Relações métricas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Relações métricas na circunferência Cordas se interceptando num ponto P interno à circunferência: Consideremos a figura abaixo com as cordas AB e CD tendo interseção no ponto P. Então o produto dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra corda. Desse modo, temos: A P B C D (PA) . (PB) = (PC) . (PD)

Relações métricas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Relações métricas na circunferência Os triângulos PAC e PBD são semelhantes: A P B C D 𝜃 𝑃𝐴 𝑃𝐷 = 𝑃𝐶 𝑃𝐵 𝜃 𝛼 (PA) . (PB) = (PC) . (PD) 𝛼

Relações métricas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Relações métricas na circunferência Secantes se interceptando num ponto fora da circunferência: Consideremos duas retas secantes a uma mesma circunferência que se interceptam em um ponto P localizado fora da circunferência. P B A D C

Relações métricas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Relações métricas na circunferência P B A D C 𝛼 𝜃 𝑃𝐴 𝑃𝐷 = 𝑃𝐶 𝑃𝐵 𝜃 𝛼 (PA) . (PB) = (PC) . (PD) Os triângulos PAC e PBD são semelhantes:

Relações métricas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Relações métricas na circunferência D C P A B (PA) . (PB) = (PC) . (PD)

Relações métricas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Relações métricas na circunferência Secante e tangente se interceptando fora da circunferência: Seja uma reta secante e uma reta tangente a uma mesma circunferência que se interceptam em um ponto P fora da circunferência. P T B A

Relações métricas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Relações métricas na circunferência P T B A 𝛼 𝛽 𝜃 𝑃𝐴 𝑃𝑇 = 𝑃𝑇 𝑃𝐵 𝛼 𝜃 (PT)2 = (PA) . (PB) Os triângulos PAT e PBT são semelhantes:

Relações métricas na circunferência MATEMÁTICA Prof. Wolverine Relações métricas na circunferência P T B A (PT)2 = (PA) . (PB)

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