Conceituação e Definição de Derivada

Introdução Histórica Historicamente, o desenvolvimento do cálculo por Isaac Newton(1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) resultou da investigação de alguns problemas, como por exemplo: Encontrar a reta tangente a uma curva num dado ponto da curva. O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função (declividade da reta tangente a uma curva num determinado ponto) o qual está presente no cotidiano das pessoas

Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam (por exemplo, no tempo): (a) a velocidade de um foguete (b) a inflação da moeda (c) o número de bactérias em uma cultura (d) a intensidade dos tremores de um terremoto (e) a voltagem de um sinal elétrico (f) e muitos outros derivada é a ferramenta matemática usada para estudar taxas nas quais variam as grandezas físicas.

Retas Tangentes e Taxas de Variação: Noções Básicas OBJETIVO Estabelecer uma relação entre retas tangentes e taxas de variação. Inclinação de uma Reta Tangente OBJETIVO Entender a relação entre a inclinação da reta tangente em P (mtg) e a inclinação da reta secante entre P e Q (msec) quando o ponto Q se move ao longo da curva y=f(x) em direção ao ponto P.

Taxas de Variação Média e Instantânea As taxas de variação ocorrem em muitas aplicações práticas: (a) Um microbiologista pode estar interessado na taxa segundo a qual o número de bactérias em uma colônia varia com o tempo. (b) Um economista pode estar interessado na taxa segundo a qual o custo de produção varia com a quantidade de produtos manufaturados. (c) Um pesquisador na área médica pode estar interessado na taxa segundo a qual o raio de uma artéria varia com a concentração de álcool na corrente sanguínea.

Há distinção entre taxa média de variação, representada pela inclinação da reta secante, e taxa instantânea de variação, representada pela inclinação da reta tangente. DEFINIÇÃO. Se y=f(x), então a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [x0, x1] é a inclinação msec da reta secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)), isto é: DEFINIÇÃO. Se y=f(x), então a taxa de variação instantânea de y em relação a x no ponto x0 é a inclinação mtg da reta tangente ao gráfico de f no ponto x0, isto é:

De acordo com a figura, a inclinação da reta secante é dada por: x0 x1 f(x0) f(x1) P Q y=f(x) f(x1) - f(x0) x1 - x0 reta secante x y reta tangente

A derivada em um Ponto (lousa) Se P é um ponto fixo e Q um ponto que se aproxima de P, ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,..., as secantes terão as posições por PQ1, PQ2, PQ3, ... e as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada vez mais próximas da declividade da reta tangente. k = f´(x0)

Definição A derivada no ponto P pode ser interpretada como: é chamada de derivada de f em relação a x. O domínio de f ’ consiste de todo x para o qual o limite existe. A derivada no ponto P pode ser interpretada como: a inclinação da curva em P o coeficiente angular da reta tangente a curva em P

Exemplo 1. Encontre a derivada de: f(x)=x^2 em x=3 F(x)=x^2+1 em x=4 (fazer na lousa)

A Função Derivada. Vimos à derivada de uma função num ponto fixo. Vamos considerar o que acontece em uma série de pontos. A derivada pode assumir valores diferentes em pontos diferentes, basta substituir o ponto dado por x. Exemplo 2. Encontre a derivada de f(x)=x3 no ponto x=c (fazer lousa)

Exercícios PROVE QUE: a)SE F(X)= 2X^3 ENTÃO F´(X)= 6X b)Se f(x)=x^3 então f´(x)=3x^2

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Complemento da aula. Taxa de Variação Instantânea: A derivada Exemplo: Se eu percorro 150 Km em 3 horas, com que velocidade eu dirigi? A resposta seria a divisão de 150 por 3, concluindo que eu dirigi, em média 50 Km por hora. Essa é a velocidade média, pois não significa que após 1 h de viagem eu tenha percorrido exatamente 50 Km. Eu posso ter parado num sinal de trânsito ou ter viajado em velocidades diferentes ao longo do tempo. Portanto, a minha velocidade média foi de 50Km/h. Mas, suponhamos que eu não esteja interessada na velocidade média e sim na velocidade instantânea (num dado instante). Neste caso temos que trabalhar com o limite da velocidade média, quando a variação da distância tende a zero

Diferenciabilidade e Continuidade Este exemplo mostra que a continuidade de uma função em um ponto não garante a existência da derivada da função neste mesmo ponto, mas a recíproca é verdadeira, isto é, a existência da derivada de f em um ponto, implica na continuidade de f neste ponto. Existem funções que não têm derivada em um ponto, embora possam ter derivadas laterais à esquerda e à direita deste ponto e ser contínua neste ponto. Exemplo: A função modular (valor absoluto) definida por f(x)=|x|, não tem derivada em x=0, mas: (a) f é contínua em toda a reta; (b) Derivada lateral à direita: f '(0+)=+1; (c) Derivada lateral à esquerda: f '(0-)=-1.

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