Prof. Marcelo de Oliveira Rosa Série de Fourier (FS) Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Série de Fourier Anteriormente... Análise de Fourier Sinais  combinação linear de δ(t) Sistemas  resposta ao impulso h(t) Análise de Fourier Sinais  combinação linear de “senóides” Exponenciais complexas Sistemas  resposta em freqüência

Série de Fourier Excitação periódica Sistema linear e invariante no tempo (LTI) Aplicando um impulso ao sistema Resposta ao impulso Aplicando um trem de impulsos ao sistema “Resposta periódica” Apenas resposta forçada da EDO que rege o LTI

Série de Fourier Excitação periódica Exemplos: Resposta ao impulso Gota em tanque de água Mola  Massa Resposta ao impulso

Série de Fourier Excitação periódica Presença de transitório

Série de Fourier Excitação periódica Exercício

Série de Fourier Excitação periódica Presença de transitório Exigência de excitação iniciar “a muito tempo atrás” Operação trabalhosa Soma infinita de respostas ao impulso atrasadas Como analisar apenas a resposta forçada do sistema a uma excitação periódica?

Série de Fourier Excitação exponencial complexa Dado: Sistema LTI  h(t) Excitação exponencial complexa  x(t) = e+jΩt Por convolução, a resposta é: Note: resposta para uma freqüência específica  Ω

Série de Fourier Excitação exponencial complexa Pelo princípio da superposição Para o sistema  h(t) A resposta é com

Série de Fourier Excitação exponencial complexa Autovalor Projeção da função h(t) sobre a função g(t) = e+jΩt Produto interno  <h(t), g*(t) > Autovetor/Autofunção Direção g(t) considerada na qual se projeta h(t)

Série de Fourier Excitação exponencial complexa Exemplo Aproximação de onda triangular inclinada usando sinais do tipo cos(kΩt+Θ)

Série de Fourier Excitação exponencial complexa As freqüências kΩ são chamadas harmônicas k ∈ Z São múltiplas de 2π/T Cada Ak cos(kΩt+Θ) pode ser convertido em: [Ak cos(Θ)] cos(kΩt) + [–Ak sen(Θ)] sen(kΩt) Senóides com fase  soma de senóides e cossenóides ponderadas.

Série de Fourier Definição Se x(t) é periódico, com período T, t0≤t<t0+T E X[k]  k-ésima amplitude harmônica das exponenciais complexas da decomposição de x(t) Ω = 1 / T

Série de Fourier Definição Em termos de senos e cossenos E Xc[k] e Xs[k]  k-ésima amplitude harmônica das senóides e cossenóides da decomposição de x(t)

Série de Fourier Definição Condições de existência Sinal absolutamente somável entre t0≤t<t0+T Número finito de máximos e mínimos entre t0≤t<t0+T Número finito de descontinuidades entre t0≤t<t0+T Sinais hipotéticos não possuem série de Fourier x(t) = sen(1/t)

Série de Fourier Questão de periodicidade A partir de: Temos que:

Série de Fourier Questão de periodicidade

Série de Fourier Questão de periodicidade

Série de Fourier Questão da periodicidade Reforçando: k ∈ Z Não existe componente para k não inteiro! X[k] é uma seqüência/série de números Ω = 1 / T Freqüência de cálculo está relacionado com o período do sinal escolhido para a análise da série Existem 2 períodos envolvidos Período real do sinal Período para cálculo da Série de Fourier Exemplos/Exercícios

Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS Usando uma amplitude harmônica Xn[k] O erro mínimo será: Com argmin{Ee} = X[k]

Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS

Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS

Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS Sinais “contínuos” Convergência com número finito de harmônicos Sinais “descontínuos” Presença de impulsos  δ(t) Mas não atinge convergência absoluta Fenômeno de Gibbs Representação de função descontínua usando função contínua (no caso, exponenciais complexas) Oscilação nas regiões de descontinuidade

Série de Fourier Truncamento e Convergência de FS Sinais “descontínuos” Exemplos: Filtro passa-baixa em sinal degrau (unitário ou não) “Ruído” em imagens compactadas (JPEG) “Ruído” em vídeo digital compactado (MPEG, TV digital) Pré-eco em instrumentos de percussão

Série de Fourier Truncamento e Convergência de FS Aproximação de u(t) via FS A A/2

Série de Fourier Propriedades Linearidade com T = m Tx = q Ty

Série de Fourier Propriedades Inversão de tempo com T = m Tx

Série de Fourier Propriedades Deslocamento no tempo com T = m Tx Deslocamento em freqüência

Série de Fourier Propriedades Deslocamento no tempo  atraso de fase

Série de Fourier Propriedades Deslocamento na freqüência  modulação AM

Série de Fourier Propriedades Escala de tempo com T = m Tx ou

Série de Fourier Propriedades Diferenciação Com T = m Tx

Série de Fourier Propriedades Integração Com T = m Tx e X[0]=0 Se X[0] ≠ 0, a integral de x(t) deixa de ser periódica Inexistência da série de Fourier para tal sinal

Série de Fourier Propriedades Modulação com T = m Tx = q Ty

Série de Fourier Propriedades Convolução periódica com T = m Tx = q Ty

Série de Fourier Propriedades Modulação e Convolução Modulação no tempo Convolução em freqüência Convolução no tempo  Modulação em freqüência Princípio de filtragem!

Série de Fourier Propriedades Conjugado Com T = m Tx Propriedade decorrente: Se x(t) é par, |X[k]|2 – módulo – é par Se x(t) é par, <X[k] – fase – é impar

Série de Fourier Propriedades Teorema de Parseval Com T = m Tx Potência média do sinal  Soma das potências médias harmônicas

Série de Fourier Aplicação em Análise de Sistemas LTI Do conceito de autofunção Excitação  exponencial complexa (freqüência Ω) Resposta  exponencial complexa (freqüência Ω) Exemplos/Exercícios

Série de Fourier Aplicação em Análise de Sistemas LTI Aplicação direta sobre EDO Linear a coeficientes constantes Obtenção da resposta do sistema a componentes harmônicos espectrais Por manipulação algébrica Apenas para harmônicos de Ω = 2π/T