Álgebra Linear (Parte 1) (C. T. Chen, Capítulo 3) Sistemas Lineares
Introdução Sejam as matrizes reais Anxm, Bmxr , Clxn , Drxp. Seja ai a i-ésima coluna de A e bj a j-ésima linha de B. Então - aibi é uma matriz nxr (ai é nx1 e bi é 1xr) - biai só existe se n=r. Neste caso, o resultado é um escalar.
Bases, representação e ortonormalização Seja o espaço linear real de dimensão n (n-dimensional) ℛ 𝑛 Cada vetor em ℛ 𝑛 é uma n-upla, e é dado por 𝒙= 𝑥 1 𝑥 2 ⋮ 𝑥 𝑛 , que normalmente escrevemos de forma transposta, por economia de espaço, como 𝒙= 𝑥 1 𝑥 2 ⋯ 𝑥 𝑛 ′
A dimensão de um espaço linear pode ser definida como o número máximo de vetores linearmente independentes no mesmo. Logo, em ℛ 𝑛 podemos ter no máximo n vetores LI
Base e representação
Base ortonormal
Exemplo 2 q2 2 i2 -1 q1 0.5 q2
Normas de vetores
Norma 1 Norma 2, quadrática ou Euclidiana Norma ∞
Ortonormalização Um vetor é dito normalizado se sua norma Euclidiana é 1, ou seja, 𝒙 ′ 𝒙=1 Observe que 𝒙 ′ 𝒙 é um escalar e 𝒙𝒙 ′ é uma matriz nxn.
Ortonormalização Dado um conjunto de vetores LI Pode-se obter um conjunto ortonormal através do seguinte procedimento:
Ortonormalização de Schmidt
Equações algébricas lineares Range space de A se traduz como espaço imagem ou espaço de colunas de A
Exemplo
Espaço imagem de A
Espaço nulo de A
Teorema da existência de soluções
Teorema da parametrização das soluções
Exemplo
Corolário
Determinante e inversa de matrizes quadradas
Transformação de similaridade Seja uma matriz quadrada 𝑛𝑥𝑛 𝑨. Ela mapeia ℛ 𝑛 nele mesmo. Se associarmos a ℛ 𝑛 a base ortonormal 𝒊 1 , 𝒊 2 , ⋯, 𝒊 𝑛 em (3.8), então a 𝑖-ésima coluna de 𝑨 é a representação de 𝑨 𝒊 𝑖 na base ortonormal. Agora, selecionando um conjunto diferente como base, a saber, 𝒒 1 , 𝒒 2 , ⋯, 𝒒 𝑛 , a matriz 𝑨 terá uma representação diferente, 𝑨 . Daí, a 𝑖-ésima coluna de 𝑨 é a representação de 𝑨𝒒𝑖 na base {𝒒1, 𝒒2, …, 𝒒𝑛}. Isto é ilustrado pelo exemplo a seguir:
Exemplo 3.4
Continuação...
Caso geral Seja A uma matriz n por n