Aula 07 – Limite e Continuidade Idéia intuitiva e definição de limites.
A Definição de Limite Para chegarmos a definição precisa de limite consideremos inicialmente a função Intuitivamente, se está próximo de 3, mas , então está próximo de 5, ou seja,
A Definição de Limite Quão próximo de 3 deverá estar para que esteja próximo de 5? Ou, a que distância deverá estar de 3, para que a distância entre e 5 seja cada vez menor?
A Definição de Limite Ou ainda, dada uma distância (qualquer) de a 5, podemos encontrar a que distância deve estar de 3? A distância de a 3 é representada matematicamente por , da mesma forma que a distância de a 5 é representada por
A Definição de Limite Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende para é , e escrevemos se, para todo , existir , tal que se então
A Definição de Limite
A Definição de Limite
Exemplo Demonstre que
Limites Laterais Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto à esquerda de . Então dizemos que o limite de quando tende a pela esquerda é , e escrevemos se, para todo , existir , tal que se então
Limites Laterais Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto à direita de . Então dizemos que o limite de quando tende a pela direita é , e escrevemos se, para todo , existir , tal que se então
Teorema existe e será igual a se e somente se e existirem e forem iguais a .
Exemplos
Limites Infinitos Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende para é , e escrevemos se, para todo , existir , tal que se então
Limites Infinitos Seja uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende para é , e escrevemos se, para todo , existir , tal que se então
Exemplos Determine:
Função Contínua no Ponto Diremos que a aplicação é contínua no ponto , se
Função Contínua no Ponto
Função Descontínua no Ponto
Função Descontínua no Ponto
Função Descontínua no Ponto
Função Contínua A aplicação é contínua, se a mesma for contínua em todos os pontos do seu domínio.
Exemplos de Funções Contínuas
Exemplos de Funções Contínuas
Outros Exemplos de Limites
Exemplo Determine os pontos de descontinuidade da função cujo gráfico é mostrado a seguir, justificando.
Exemplo Determine o valor de L para que a função abaixo seja contínua no ponto p=0.
Limite Fundamental da Trigonometria Seja uma aplicação definida por , cujo o esboço do gráfico é dado a seguir:
Limite Fundamental da Trigonometria
Exemplo Calcule
Exemplo Calcule
Limite fundamental
Exemplo Mostre que De modo análogo obtemos
Exemplo Mostre que
Propriedades Operatórias de Limite Suponhamos que existem os limites e . Se , então:
Propriedades Operatórias de Limite Suponhamos que existem os limites e . Se , então:
Teorema: Limite de Função Composta Sejam e duas funções tais que . Se e é contínua em , então
Corolário: Limite de Função Composta Se existe, então:
Corolário: Limite de Função Composta Se existe, então:
Atividade Determine caso exista os limites abaixo: Solução:
Atividade Determine caso exista os limites abaixo: Solução:
Atividade Determine caso exista os limites abaixo: Solução:
Atividade Determine caso exista os limites abaixo: Solução: Calculando .
Atividade Calculando temos: Logo