Problemas de Transporte (Redes) Pesquisa Operacional Problemas de Transporte (Redes)

Problema de transporte Consiste em determinar o menor custo (ou o maior lucro) em transportar produtos de diversas origens para diversos destinos Muito aplicado em logística Pode ser resolvido com uso de SIMPLEX, porém, dada a sua natureza, outra forma de resolução será apresentada (SIMPLEX modificado) Exemplo de aplicações Transportar produtos de fábricas para estoques Transportar produtos de estoques para lojas Etc.

Exemplo Desejamos transportar matérias-primas das origens para os destinos conforme tabela abaixo Destino 1 Destino 2 Destino 3 Oferta Origem 1 4 3 9 10 Origem 2 5 6 30 Origem 3 25 Demanda 20 15 65

Representação esquemática D1 10 30 O2 D2 30 20 O3 D3 25 15

Modelo matemático Variáveis de decisão 𝑥 11 : Quantidade da origem 1 para o destino 1 𝑥 12 : Quantidade da origem 1 para o destino 2 𝑥 13 : Quantidade da origem 1 para o destino 3 𝑥 21 : Quantidade da origem 2 para o destino 1 𝑥 22 : Quantidade da origem 2 para o destino 2 𝑥 23 : Quantidade da origem 2 para o destino 3 𝑥 31 : Quantidade da origem 3 para o destino 1 𝑥 32 : Quantidade da origem 3 para o destino 2 𝑥 33 : Quantidade da origem 3 para o destino 3 Função objetivo Min. 𝑍=4 𝑥 11 +3 𝑥 12 +9 𝑥 13 +5 𝑥 21 +4 𝑥 22 +6 𝑥 23 +6 𝑥 31 +6 𝑥 32 +3 𝑥 33

Modelo matemático Restrições oferta 𝑥 11 + 𝑥 12 + 𝑥 13 =10 𝑥 21 + 𝑥 22 + 𝑥 23 =30 𝑥 31 + 𝑥 32 + 𝑥 33 =25 Restrições demanda 𝑥 11 + 𝑥 21 + 𝑥 31 =30 𝑥 12 + 𝑥 22 + 𝑥 32 =20 𝑥 13 + 𝑥 23 + 𝑥 33 =15 Restrição não-negatividade 𝑥 𝑖𝑗 ≥0 (𝑖=1,2,3;𝑗=1,2,3)

Modelo matemático (generalizado) Variáveis de decisão 𝑥 𝑖𝑗 : Quantidade da origem 𝑖 para o destino 𝑗 Função objetivo min 𝑍= 𝑖=1 𝑚 𝑗=1 𝑛 𝑐 𝑖𝑗 𝑥 𝑖𝑗 Sujeito a: 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑖𝑗 = 𝑠 𝑖 𝑖=1 𝑚 𝑥 𝑖𝑗 = 𝑑 𝑗 𝑥 𝑖𝑗 ≥0 𝑐𝑜𝑚 (𝑖=1, …, 𝑚;𝑗=1, …, 𝑛) RT disponibilidade RT demanda

Algoritmo Pode-se usar SIMPLEX Devido as características do Problema de Transporte, versão simplificada denominada “Método SIMPLEX de Transporte” será usada (jeito + simples)

Tabela D1 D2 Dn Oferta O1 C11 C12 C1n s1 X11 X12 X1n O2 C21 C22 C2n s2 Om Cm1 Cm2 Cmn sm Xm1 Xm2 Xmn Demanda d1 d2 dn

Voltando para tabela do Exemplo Desejamos transportar matérias-primas das origens para os destinos conforme tabela abaixo Destino 1 Destino 2 Destino 3 Oferta Origem 1 4 3 9 10 Origem 2 5 6 30 Origem 3 25 Demanda 20 15 65

Passo 1 – Achar solução inicial Modo + simples é pelo canto noroeste Prefiro achar solução inicial pelo método Vogel D1 D2 D3 O O1 10 O2 20 30 O3 15 25 D 65 D1 D2 D3 O O1 4 3 9 10 O2 5 6 30 O3 25 D 20 15 65 CNW Vogel D1 D2 D3 O O1 10 O2 20 30 O3 15 D 65

Passo 2: Critério de otimalidade Como no SIMPLEX tradicional, verifica-se se solução pode ou não ser melhorada Para isso, escreve-se função-objetivo em termos de variáveis não básicas Depois multiplica-se cada restrição de linha pelo número − 𝑢 𝑖 e cada restrição de coluna pelo número − 𝑣 1 . Posteriormente soma-se as novas linhas e colunas na Função Objetivo de tal forma que todos os coeficientes sejam não nulos Se 𝑥 𝑖𝑗 é básico: 𝑐 𝑖𝑗 − 𝑢 𝑖 − 𝑣 𝑖 =0 Essas igualdes compõem um sistema de 𝑚+𝑛−1 equações com 𝑚+𝑛 incógnitas. Devemos atribuir um valor arbitrário para começar cálculo. Recomendo partir de 𝑢 𝑖 =0

Passo 2: Critério de otimalidade (cont.) De posse dos valores, calcula-se os coeficientes das variáveis não-básicas Se todos forem não negativos a solução será ótima Caso não ótima, se introduz uma nova variável para se compensar o sistema (maior possível sem deixar nenhuma variável negativa) Voltar ao item primeiro e repetir processo até achar solução ótima

Partindo de Vogel Otimizando

Otimizando Vogel Solução ótima 𝑍=3∗10+5∗20+4∗10+6∗10+3∗15=275 D1 D2 D3 9 10 O2 5 6 30 O3 25 D 20 15 65 D1 D2 D3 O O1 10 O2 20 30 O3 15 D 65 Vogel V.B. Coef. Subs. Supor U1 = 0 X12 C12 – U1 – V2 = 0 3 – U1 – V2 = 0 V2 = 3 X21 C21 – U2 – V1 = 0 5 – U2 – V1 = 0 V1 = 4 X22 C22 – U2 – V2 = 0 4 – U2 – V2 = 0 U2 = 1 X31 C31 – U3 – V1 = 0 6 – U3 – V1 = 0 U3 = 2 X33 C33 – U3 – V3 = 0 3 – U3 – V3 = 0 V3 = 1 V.N.B. Coef. Valor X11 C11 – U1 – V1 4 – 0 – 4 = 0 X13 C13 – U1 – V3 9 – 0 – 1 = 8 X23 C23 – U2 – V3 6 – 1 – 1 = 4 X32 C32 – U3 – V2 6 – 2 – 3 = 1 Solução ótima 𝑍=3∗10+5∗20+4∗10+6∗10+3∗15=275

Partindo de CNW otimizando

Otimizando (mesmo caso pelo CNW) 4 3 9 10 O2 5 6 30 O3 25 D 20 15 65 D1 D2 D3 O O1 10 O2 20 30 O3 15 25 D 65 CNW V.B. Coef. Subs. Supor U1 = 0 X11 C11 – U1 – V1 = 0 4 – U1 – V1 = 0 V1 = 4 X21 C21 – U2 – V1 = 0 5 – U2 – V1 = 0 U2 = 1 X22 C22 – U2 – V2 = 0 4 – U2 – V2 = 0 V2 = 3 X32 C32 – U3 – V2 = 0 6 – U3 – V2 = 0 U3 = 3 X33 C33 – U3 – V3 = 0 3 – U3 – V3 = 0 V3 = 1 V.N.B. Coef. Valor X12 C12 – U1 – V2 3 – 0 – 3 = 0 X13 C13 – U1 – V3 9 – 0 – 3 = 6 X23 C23 – U2 – V3 6 – 1 – 1 = 4 X31 C31 – U3 – V1 6 – 3 – 4 = - 1 Solução não ótima ( valor negativo) Escolhe-se valor negativo de maior valor absoluto, no caso -1 Entra variável x31

Otimizando (mesmo caso pelo CNW) 10 O2 20 30 O3 15 25 D 65 D1 D2 D3 O O1 10 O2 20-Ꝋ 10+Ꝋ 30 O3 Ꝋ 10- Ꝋ 15 25 D 20 65 Circuito de compensação D1 D2 D3 O O1 10 O2 20 30 O3 15 25 D 65 Nova solução Ꝋ = 10

Otimizando (mesmo caso pelo CNW) 4 3 9 10 O2 5 6 30 O3 25 D 20 15 65 D1 D2 D3 O O1 10 O2 20 30 O3 15 25 D 65 Nova solução V.B. Coef. Subs. Supor U1 = 0 X11 C11 – U1 – V1 = 0 4 – U1 – V1 = 0 V1 = 4 X21 C21 – U2 – V1 = 0 5 – U2 – V1 = 0 U2 = 1 X22 C22 – U2 – V2 = 0 4 – U2 – V2 = 0 V2 = 3 X31 C31 – U3 – V1 = 0 6 – U3 – V1 = 0 U3 = 2 X33 C33 – U3 – V3 = 0 3 – U3 – V3 = 0 V3 = 1 Solução ótima 𝑍=4∗10+5∗10+4∗20+6∗10+3∗15=275 V.N.B. Coef. Valor X12 C12 – U1 – V2 3 – 0 – 3 = 0 X13 C13 – U1 – V3 9 – 0 – 1 = 8 X23 C23 – U2 – V3 6 – 1 – 1 = 4 X32 C32 – U3 – V2 6 – 2 – 3 = 1

Caso 1: Oferta diferente da demanda Em muitos casos, as quantidades disponíveis na origem ou no destino não são iguais. Neste caso é necessário criar uma localidade fictícia para poder proceder com a resolução Resolução posterior será igual

Exemplo D1 D2 D3 D4 Oferta O1 2 3 4 5 15 O2 20 O3 1 25 Demanda 8 10 12 15 O2 20 O3 1 25 Demanda 8 10 12 O=D = 60

Caso 2: Degenerescência Existência de menos variáveis básicas do que o número necessário Devemos criar variáveis básicas, quantas forem necessárias, de forma que o número de equações básicas seja apenas 1 a menos do que o número de variáveis Variáveis devem ser colocadas de forma a não fechar “circuitos” Deve-se usar o presente artificio sempre que ocorrer está situação Resolver problema de modo tradicional

Exemplo – solução inicial (Vogel) D1 D2 D3 D4 D5 Oferta O1 A 15 O2 5 20 O3 8 12 25 Demanda 10 O=D = 60 V.B. Coef. X12 C12 – U1 – V2 = 0 X15 C15 – U1 – V5 = 0 X22 C22 – U2 – V2 = 0 X24 C24 – U2 – V4 = 0 X31 C31 – U3 – V1 = 0 X32 C32 – U3 – V2 = 0 X33 C33 – U3 – V3 = 0 Perceba que: No. Equações = 7 No. Variáveis = 8 (U1, U2, U3, V1, V2, V3, V4, V5)

Exercício Fazer o transporte de forma a minimizar os custos da operação Resolver pelo canto noroeste D1 D2 D3 Oferta O1 6 4 10 O2 8 7 20 O3 2 3 30 Demanda 15 O=D = 60

Exercício - resolução Solução não ótima Variável que entra X23 D1 D2 Oferta O1 6 4 10 O2 8 7 20 O3 2 3 30 Demanda 15 O=D = 60 D1 D2 D3 Oferta O1 10 A O2 5 15 20 O3 30 Demanda O=D = 60 V.B. Coef. Subs. Supor U1 = 0 X11 C11 – U1 – V1 = 0 6 – U1 – V1 = 0 V1 = 6 X21 C21 – U2 – V1 = 0 8 – U2 – V1 = 0 U2 = 2 X22 C22 – U2 – V2 = 0 6 – U2 – V2 = 0 V2 = 1 X33 C33 – U3 – V3 = 0 3 – U3 – V3 = 0 U3 = -7 X13 C13 – U1 – V3 = 0 10 – U1 – V3 = 0 V3 = 10 V.N.B. Coef. Valor X12 C12 – U1 – V2 4 – 0 – 4 = 0 X23 C23 – U2 – V3 7 – 2 – 10 = -5 X31 C31 – U3 – V1 2 +7 – 6 = 3 X32 C32 – U3 – V2 0 +7 – 4 = 3 Solução não ótima Variável que entra X23

Exercício – resolução (cont.) D1 D2 D3 Oferta O1 10 + Θ A - Θ 10 O2 5 - Θ 15 Θ 20 O3 30 Demanda O=D = 60 D1 D2 D3 Oferta O1 10 O2 5 15 A 20 O3 30 Demanda O=D = 60 V.B. Coef. Subs. Supor U1 = 0 X11 C11 – U1 – V1 = 0 6 – U1 – V1 = 0 V1 = 6 X21 C21 – U2 – V1 = 0 8 – U2 – V1 = 0 U2 = 2 X22 C22 – U2 – V2 = 0 6 – U2 – V2 = 0 V2 = 4 X23 C33 – U2 – V3 = 0 7 – U2 – V3 = 0 V3 = 5 X33 C13 – U3 – V3 = 0 3 – U3 – V3 = 0 U3 = -2 V.N.B. Coef. Valor X12 C12 – U1 – V2 4 – 0 – 4 = 0 X13 C23 – U1 – V3 10 – 0 – 5 = 5 X31 C31 – U3 – V1 2 +2 – 6 = -2 X32 C32 – U3 – V2 0 +2 – 4 = -2 Solução não ótima Variável que entra X31

Exercício – resolução (cont.) D1 D2 D3 Oferta O1 10 O2 5 - Θ 15 A + Θ 20 O3 Θ 30 – Θ 30 Demanda O=D = 60 D1 D2 D3 Oferta O1 10 O2 15 5 20 O3 25 30 Demanda O=D = 60 V.B. Coef. Subs. Supor U1 = 0 X11 C11 – U1 – V1 = 0 6 – U1 – V1 = 0 V1 = 6 X22 C22 – U2 – V2 = 0 6 – U2 – V2 = 0 V2 = 6 X23 C23 – U2 – V3 = 0 7 – U2 – V3 = 0 U2 = 0 X31 C31 – U3 – V1 = 0 2 – U3 – V1 = 0 U3 = -4 X33 C33 – U3 – V3 = 0 3 – U3 – V3 = 0 V3 = 7 V.N.B. Coef. Valor X12 C12 – U1 – V2 4 – 0 – 6 = -2 X13 C13 – U1 – V3 10 – 0 – 7 = 3 X21 C21 – U2 – V1 8 – 0 – 6 = 2 X32 C32 – U3 – V2 0 +4 – 6 = -2 Solução não ótima Variável que entra X32

Exercício – resolução (cont.) D1 D2 D3 Oferta O1 10 O2 15 - Θ 5 + Θ 20 O3 5 Θ 25 – Θ 30 Demanda 15 O=D = 60 D1 D2 D3 Oferta O1 10 O2 20 O3 5 15 30 Demanda O=D = 60 V.B. Coef. Subs. Supor U1 = 0 X11 C11 – U1 – V1 = 0 6 – U1 – V1 = 0 V1 = 6 X23 C23 – U2 – V3 = 0 7 – U2 – V3 = 0 U2 = 0 X31 C31 – U3 – V1 = 0 2 – U3 – V1 = 0 U3 = -4 X32 C32 – U3 – V2 = 0 0 – U3 – V2 = 0 V2 = 4 X33 C33 – U3 – V3 = 0 3 – U3 – V3 = 0 V3 = 7 V.N.B. Coef. Valor X12 C12 – U1 – V2 4 – 0 – 4 = 0 X13 C13 – U1 – V3 10 – 0 – 7 = 3 X21 C21 – U2 – V1 8 – 0 – 6 = 2 X22 C22 – U2 – V2 6 – 0 – 4 = 2 Solução ótima Custo do transporte: =10∗6+20∗7+5∗2+15∗0+3∗10=240

Exercício 2 Três reservatórios transportam água para suprimento das cidades conforme quadro abaixo (valores transportados e consumidos são dado em milhões de litros e custos são apresentados em R$): C1 C2 C3 Oferta R1 20 16 24 300 R2 10 8 500 R3 12 18 200 Demanda 400 O administrador do sistema pretende abastecer as cidades com o menor custo possível. Nessas condições, qual será o custo de transporte e o valor transportado por cada reservatório? (fazer resolução pelo CNW)