Análise ESTÁTICA COMPARATIVA Prof. Elisson de Andrade eapandra@uol.com.br

Revisão de EQUILÍBRIO

Equilíbrio Acontece quando: variáveis que se relacionam de tal forma que não existe nenhuma tendência a MUDANÇA Todas as variáveis devem estar, simultaneamente, em repouso: por isso também podemos falar em análise ESTÁTICA Retomemos nosso exemplo:

Exemplo Mercado com apenas UMA mercadoria Sendo as variáveis: Qd: quantidade demandada Qs: quantidade ofertada P: preço da mercadoria Condição de equilíbrio: Qd – Qs= 0

Guardar bem essas condições Exemplo Definimos as funções demanda e oferta Qd = a – bP (a,b >0) Qs = -c + dP (d,c >0) Guardar bem essas condições

Q Qs = -c + dP P1 P -c

Q a Qs = -c + dP 𝑄 = 𝑄 𝑑 = 𝑄 𝑠 equilíbrio Qd = a – bP P1 𝑃 P -c

𝑄 𝑑 = 𝑄 𝑠 𝑄 𝑑 =𝑎−𝑏𝑃 𝑄 𝑠 =−𝑐+𝑑𝑃 Portanto, achar o equilíbrio, significa achar soluções para as variáveis endógenas 𝑃, 𝑄 𝑑 𝑒 𝑄 𝑠 , indicadas por 𝑃 , 𝑄 𝑑 , 𝑄 𝑠 , que satisfaçam simultaneamente 𝑄 𝑑 = 𝑄 𝑠 𝑄 𝑑 =𝑎−𝑏𝑃 𝑄 𝑠 =−𝑐+𝑑𝑃

ESTÁTICA COMPARATIVA

INTRODUÇÃO A partir de agora vamos comparar DIFERENTES ESTADOS DE EQUILÍBRIO Em outras palavras: comparar 2 diferentes estados econômicos, antes e depois da mudança de alguma variável exógena Não estudaremos COMO esse novo equilíbrio será atingido (análise dinâmica) Vejamos exemplo INICIAL

Exemplo: 1 mercadoria Partimos sempre de um estágio inicial: 𝑃 e 𝑄 E vamos comparar tal estágio com outro equilíbrio, de forma: QUALITATIVA: o que acontece com o equilíbrio quando alteramos uma variável exógena? (SINAL) QUANTITATIVA: mensura a ordem de grandeza (SINAL + VALOR) Em síntese: queremos achar uma taxa de mudança: como irá mudar o ponto de equilíbrio, dada uma mudança na variável exógena Para isso, lançaremos mão do conceito de DERIVADA

Exemplo: 1 mercadoria Voltemos na expressão algébrica do nosso exemplo: Qd = a – bP (a,b >0) Qs = -c + dP (d,c >0) Ao resolver o sistema acima, calculando 𝑃 e 𝑄 , teremos: 𝑃 = 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 𝑄 = 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑏+𝑑

Calcule: 𝜕 𝑃 𝑎 , 𝜕 𝑃 𝑏 , 𝜕 𝑃 𝑐 , 𝜕 𝑃 𝑑 Exemplo: 1 mercadoria Agora a grande questão é: de que forma, mudanças infinitesimais dos parâmetros exógenos (a, b, c, d) podem alterar o equilíbrio? Resposta: basta diferenciar parcialmente 𝑃 e 𝑄 com relação a cada parâmetro e analisar o seu sinal (análise qualitativa) Exercício: considerando as equações abaixo 𝑃 = 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 𝑄 = 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑏+𝑑 Calcule: 𝜕 𝑃 𝑎 , 𝜕 𝑃 𝑏 , 𝜕 𝑃 𝑐 , 𝜕 𝑃 𝑑

𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 𝑔 2 (𝑥) Cálculos: Regra do Quociente: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔 ′ 𝑥 𝑔 2 (𝑥) 𝜕 𝑃 𝜕𝑎 = 1 𝑏+𝑑 𝜕 𝑃 𝜕𝑏 = 0 𝑏+𝑑 −1(𝑎+𝑐) 𝑏+𝑑 2 =− (𝑎+𝑐) 𝑏+𝑑 2 𝜕 𝑃 𝜕𝑐 = 1 𝑏+𝑑 = 𝜕 𝑃 𝜕𝑎 𝜕 𝑃 𝜕𝑏 = 0 𝑏+𝑑 −1(𝑎+𝑐) 𝑏+𝑑 2 =− 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 2 = 𝜕 𝑃 𝜕𝑏

− 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 2 = 𝜕 𝑃 𝜕𝑏 = 𝜕 𝑃 𝜕𝑑 <0 Como definimos, a priori, que o valor de todos os parâmetros são positivos, podemos fazer conclusões sobre os sinais das derivadas 1 𝑏+𝑑 = 𝜕 𝑃 𝜕𝑎 = 𝜕 𝑃 𝜕𝑐 >0 − 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 2 = 𝜕 𝑃 𝜕𝑏 = 𝜕 𝑃 𝜕𝑑 <0 Obs: Percebam que estamos mudando apenas UM parâmetro por vez (derivada parcial)

Vamos visualizar tais efeitos GRAFICAMENTE?

Efeito: 𝜕 𝑃 𝜕𝑎 >0 Q Qs a' a 𝑃 𝑃 ′ P Q’d -c Qd

Perceba que aumentar c significa diminuir -c Efeito: 𝜕 𝑃 𝜕𝑐 >0 Qs Q Q’s a 𝑃 𝑃 ′ P -c Perceba que aumentar c significa diminuir -c -c’ Qd

Efeito: 𝜕 𝑃 𝜕𝑏 <0 Q Qs a 𝑃 ′ 𝑃 P -c Q’d Qd 𝜕 𝑃 𝜕𝑏 <0 Q Qs a b é a inclinação de Qd, que é negativamente inclinada. Ao aumentar seu valor absoluto, a inclinação se torna mais negativa. 𝑃 ′ 𝑃 P -c Q’d Qd

Efeito: 𝜕 𝑃 𝜕𝑑 <0 Q Q’s Qs a 𝑃 ′ 𝑃 P -c Qd 𝜕 𝑃 𝜕𝑑 <0 Q Q’s Qs a d é a inclinação de Qs, que é positivamente inclinada. Ao aumentar seu valor absoluto, a inclinação se torna mais positiva 𝑃 ′ 𝑃 P -c Qd

Considerações Se é possível determinar esse comportamento graficamente, para que fazer a derivada? Para n variáveis/parâmetros, que não for possível determinar o equilíbrio graficamente, poderemos aplicar as técnicas de diferenciação sem problemas As derivadas possuem um mais alto nível de GENERALIDADE: as conclusões poderão ser extrapoladas para qualquer que seja o ponto de equilíbrio inicial, se as restrições quanto aos sinas dos parâmetros forem satisfeitas Obs1: toda essa análise também poderia ser estendida para 𝑄 Obs2: nossa análise foi meramente qualitativa

Vamos para um exemplo Numérico

Considere as seguintes funções OFERTA e DEMANDA 𝑄 𝑑 =30−2𝑃−𝑦 Sendo y a renda do consumidor 𝑄 𝑠 =𝑃 A pergunta é: qual o efeito da RENDA (y) no preço e quantidade de equilíbrio? Partindo da condição de equilíbrio 𝑄 𝑑 = 𝑄 𝑠 teremos os valores de: 𝑃 =10− 𝑦 3 𝑄 =10− 𝑦 3 Dessa forma, a análise de estática comparativa ficaria da seguinte forma: 𝜕 𝑃 𝜕𝑦 =− 1 3 𝜕 𝑄 𝜕𝑦 =− 1 3 A função demanda 𝑄 𝑑 já indicava que esse é um “bem inferior” (y↑ => Q↓) Como consequência, temos um ponto de equilíbrio em que 𝑄 e 𝑃 caem com o aumento da renda

EXERCÍCIO: Considere as seguintes funções OFERTA e DEMANDA 𝑄 𝑑 =100−𝑃+2𝑦 𝑄 𝑠 =50+2𝑃 Perguntas: Qual o efeito da RENDA (y) no preço e quantidade de equilíbrio? Supondo um aumento em y de 10 para 20, calcule os preços de equilíbrio. Respostas: 𝜕 𝑃 𝜕𝑦 = 2 3 𝜕 𝑄 𝜕𝑦 = 4 3 Estática Comparativa Para y = 10: 𝑃 ≅23 𝑄 ≅90 Para y = 20: 𝑃 ≅30 𝑄 ≅110

Para y=10 Q Qs Para y=20 110 90 23 30 P Q’d -c Qd

Agora, além da RENDA (y) teremos outra variável exógena: PREÇO DOS INSUMOS (i) 𝑄 𝑑 =30−2𝑃−𝑦 𝑄 𝑠 =𝑃−2𝑖 Calcule a expressão que define 𝑃 Resposta: 𝑃 =10− 1 3 𝑦+ 2 3 𝑖

𝑄 =10− 1 3 𝑦− 4 3 𝑖 𝑃 =10− 1 3 𝑦+ 2 3 𝑖 𝑄 𝑑 =30−2𝑃−𝑦 𝑄 𝑠 =𝑃−2𝑖 Continuando 𝑃 =10− 1 3 𝑦+ 2 3 𝑖 𝑄 𝑑 =30−2𝑃−𝑦 𝑄 𝑠 =𝑃−2𝑖 Calcule a expressão que define 𝑄 Resposta: 𝑄 =10− 1 3 𝑦− 4 3 𝑖

Com base em: 𝑃 =10− 1 3 𝑦+ 2 3 𝑖 𝑄 =10− 1 3 𝑦− 4 3 𝑖 Calcule as derivadas parciais para 𝑃 e 𝑄 em relação a y e i (estática comparativa) Respostas: 𝜕 𝑃 𝜕𝑦 =− 1 3 𝜕 𝑃 𝜕𝑖 = 2 3 𝜕 𝑄 𝜕𝑦 =− 1 3 𝜕 𝑄 𝜕𝑖 =− 4 3 Conclusões da estática comparativa parcial: Pequenos aumentos em y, afetam negativamente P e Q de equilíbrio Pequenos aumentos em i afetam positivamente P e negativamente Q

Calcule a expressão de DIFERENCIAL TOTAL para 𝑃 e 𝑄 em relação a y e i Prosseguindo com 𝑑 𝑃 = 𝜕 𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕 𝑃 𝜕𝑖 𝑑𝑖 𝑃 =10− 1 3 𝑦+ 2 3 𝑖 𝑄 =10− 1 3 𝑦− 4 3 𝑖 Calcule a expressão de DIFERENCIAL TOTAL para 𝑃 e 𝑄 em relação a y e i 𝑑 𝑃 = 𝜕 𝑃 𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕 𝑃 𝜕𝑖 𝑑𝑖=− 1 3 𝑑𝑦+ 2 3 𝑑𝑖 𝑑 𝑄 = 𝜕 𝑄 𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕 𝑄 𝜕𝑖 𝑑𝑖=− 1 3 𝑑𝑦− 4 3 𝑑𝑖

Com base nas expressões de equilíbrio, calcular 𝑃 e 𝑄 para y = i = 1 Vamos analisar 𝑑 𝑃 =− 1 3 𝑑𝑦+ 2 3 𝑑𝑖 𝑑 𝑄 =− 1 3 𝑑𝑦− 4 3 𝑑𝑖 Com base nas expressões de equilíbrio, calcular 𝑃 e 𝑄 para y = i = 1 𝑃 =10− 1 3 1+ 2 3 1=𝟏𝟎+ 𝟏 𝟑 𝑄 =10− 5 3 1− 4 3 1=𝟏𝟎− 𝟗 𝟑 Façamos uma pequena variação em y e i, e calculemos o novo equilíbrio: y = i = 1,1 𝑃 =10− 1 3 1,1+ 2 3 1,1=𝟏𝟎+ 𝟏,𝟏 𝟑 𝑄 =10− 5 3 1,1− 4 3 1,1=𝟏𝟎− 𝟗,𝟗 𝟑 Conclusões da estática comparativa total: Aumentos simultâneos em y e i causam: aumento de P e queda de Q Nota-se um efeito maior de i em P do que y

As expressões que definem 𝑃 e 𝑄 Exercício: com base nas funções oferta e demanda abaixo 𝑄 𝑑 =60−4𝑃+2𝑦 𝑄 𝑠 =2𝑃−𝑖 Calcule As expressões que definem 𝑃 e 𝑄 As derivadas parciais para 𝑃 e 𝑄 em relação a y e i A expressão de DIFERENCIAL TOTAL para 𝑃 e 𝑄 em relação a y e i Calcule os equilíbrios para: y = i = 1 e depois para y = i = 1,1

RESPOSTAS: 𝑃 =10+ 2 6 𝑦+ 1 6 𝑖 𝑄 =20+ 4 6 𝑦− 4 6 𝑖 𝜕 𝑃 𝜕𝑦 = 2 6 Expressões de equilíbrio 𝜕 𝑃 𝜕𝑦 = 2 6 𝜕 𝑃 𝜕𝑖 = 1 6 𝜕 𝑄 𝜕𝑦 = 4 6 𝜕 𝑄 𝜕𝑖 =− 4 6 Derivadas Parciais 𝑑 𝑃 = 2 6 𝑑𝑦+ 1 6 𝑑𝑖 𝑑 𝑄 = 4 6 𝑑𝑦− 4 6 𝑑𝑖 Diferenciais totais 𝑃 =𝟏𝟎+ 𝟑 𝟔 𝑄 =𝟐𝟎 y = i = 1 𝑃 =𝟏𝟎+ 𝟑,𝟑 𝟔 𝑄 =𝟐𝟎 y = i = 1,1

As expressões que definem 𝑃 e 𝑄 Exercício: com base nas funções oferta e demanda abaixo 𝑄 𝑑 =50− 1 2 𝑃−2𝑦 𝑄 𝑠 = 1 2 𝑃−𝑖 Calcule As expressões que definem 𝑃 e 𝑄 As derivadas parciais para 𝑃 e 𝑄 em relação a y e i A expressão de DIFERENCIAL TOTAL para 𝑃 e 𝑄 em relação a y e i Mantendo i = 1 (constante), calcule os equilíbrios variando y de 1 a 1,1 Mantendo y = 1 (constante), calcule os equilíbrios variando i de 1 a 1,1 Calcule os equilíbrios para variações simultâneas, partindo de y = i = 1 até y = i = 1,1

RESPOSTAS: 𝑄 =25−𝑦− 1 2 𝑖 𝑃 =50−2𝑦+𝑖 𝜕 𝑃 𝜕𝑦 =−2 𝜕 𝑃 𝜕𝑖 =+1 𝜕 𝑄 𝜕𝑦 =−1 Expressões de equilíbrio 𝜕 𝑃 𝜕𝑦 =−2 𝜕 𝑃 𝜕𝑖 =+1 𝜕 𝑄 𝜕𝑦 =−1 𝜕 𝑄 𝜕𝑖 =− 1 2 Derivadas Parciais 𝑑 𝑄 =−1𝑑𝑦− 1 2 𝑑𝑖 Diferenciais totais 𝑑 𝑃 =−2𝑑𝑦+1𝑑𝑖 y = i = 1 𝑃 =𝟒𝟗 𝑄 =𝟐𝟑,𝟓 i = 1,1 y = 1 𝑃 =𝟒𝟗,𝟏 𝑄 =𝟐𝟑,𝟒𝟓 i = 1 y = 1,1 𝑃 =𝟒𝟖,𝟖 𝑄 =𝟐𝟑,𝟒 i = 1,1 y = 1,1 𝑃 =𝟒𝟖,𝟗 𝑄 =𝟐𝟑,𝟑𝟓