MATEMÁTICA

Matemática contexto e aplicações Luiz Roberto Dante – 1º ano Ensino Médio

1º Bimestre – Números e Funções Neste bimestre foram trabalhados os temas: Conjuntos Conjuntos numéricos Operações entre conjuntos Noção intuitiva de função Definição, representação, domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função Gráficos de funções Função crescente e decrescente Função injetora, sobrejetora e bijetora Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos números Grandezas: Tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Se a grandeza é discreta, a comparação é uma contagem e o resultado, um número natural (contagem do número de selos numa coleção, por exemplo). Se a grandeza é contínua, a comparação é uma medição e o resultado é um número real (medir a distância entre duas cidades, usando a unidade 1 quilômetro, por exemplo). ZoranKrstic/Shutterstock/Glow Images Professor, utilize esse slide para que o aluno possa entender a importância dos números no nosso dia a dia. Seria interessante iniciar perguntando aos alunos, a importância dos números para eles. Complete comentando que em uma loja de roupas, esses artigos são separados pela numeração, facilitando o cliente encontrá-los. Outros exemplos que facilitam o nosso dia a dia: CEP de uma cidade ou rua; número crescente das casas em uma rua; final das placas de automóveis, determinando o dia do rodízio em determinadas cidades que ele não poderá trafegar, etc. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos A noção de conjunto Conjunto: coleção de quaisquer objetos (chamados de elementos do conjunto). Conjunto A dos números primos: A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} ou A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; ...} Relação de pertinência 2 ∈ A, porque 2 é um elemento do conjunto A. 1 ∉ A, porque 1 não é um elemento do conjunto A. Conjunto B dos números naturais maiores que 5 e menores que 10 B = {6, 7, 8, 9} ou B = {x: x ∈ ℕ| 5 < x < 10} Professor, dê um exemplo de conjunto cujos elementos são números decimais e mostre para seus alunos que, nesse caso, a separação dos elementos deve ser feita por ponto e vírgula. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos A noção de conjunto E e F são dois conjuntos. Todos os elementos de E são também elementos de F ⇒ E é um subconjunto de F ou E está contido em F ou, ainda, E é parte de F. Indicamos esse fato por E ⊂ F Banco de imagens/Arquivo da editora Professor, aqui é bom reforçar aos seus alunos que um elementos pertence ou não pertence a um conjunto (nunca usar o termo contido ou não contido entre elemento e conjunto) e que um conjunto está contido ou não está contido em outro conjunto (nunca usar o termo pertence ou não pertence entre dois conjuntos). E ⊂ F A ⊂ B Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos Conjunto dos números naturais (ℕ) ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} Sempre que queremos excluir o zero de um conjunto, colocamos o asterisco (*) no símbolo que o representa. Por exemplo: ℕ*, ℤ*, ℝ*. Conjunto dos números inteiros (ℤ) Professor, comente com seus alunos que sempre que quisermos excluir o valor zero de um conjunto numérico, basta colocar um asterisco sobre a letra que representa esse conjunto. Lembrar também do conceito de número par e número ímpar que pode ser encontrado na página 15 do livro texto. Banco de imagens/Arquivo da editora ℤ = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} ℕ ⊂ ℤ Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos Conjunto dos números racionais (ℚ) São números racionais: 5; −5; 2 3 ; 0,23; 1,25252525... São racionais: Os números naturais. Os números inteiros. As frações cujo numerador e denominador são inteiros e o denominador é não nulo. Os decimais exatos (a parte decimal é finita). Os decimais periódicos ou as dízimas periódicas. ℤ = {x| x = 𝑎 𝑏 , com a ∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠ 0 Professor, é importante comentar aqui o porquê o denominador não pode ser zero e também, apesar de raiz de 2 sobre 2 ser uma fração, esse número não é racional. Banco de imagens/Arquivo da editora ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos Conjunto dos números irracionais (I) Um número é irracional quando não admite uma representação decimal exata nem uma representação na forma de dízima periódica. Assim, 2 ; 1,234326541257.... São números irracionais. Conjunto dos números reais (ℝ) Da reunião do conjunto dos números racionais com os números irracionais obtemos o conjunto dos números reais (ℝ). Veja o diagrama. Banco de imagens/Arquivo da editora Professor, comente aqui que π é um número irracional. 3,14 é apenas uma aproximação de seu valor real. ℝ − ℚ = I Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos A linguagem de conjuntos Complementar de um conjunto A é um conjunto que por sua vez é um subconjunto do universo U. Complementar de A em relação a U = Conjunto dos elementos de U que não pertencem a A. Notação: ∁ A U ou 𝐴 𝐶 ou 𝐴 Banco de imagens/Arquivo da editora 𝐴 𝐶 = {x| x ∈ U e x ∉ A} Exemplo: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; A = {4, 5, 6, 7}; = {0, 1, 2, 8, 9, 10} Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos Operações entre conjuntos A e B são dois conjuntos. A ∪ B Reunião ou união de conjuntos A ∪ B = {x| x∈ A ou x ∈ B} Exemplo: A = {3, 6} e B = {5, 6}, então A ∪ B = {3, 5, 6} Intersecção de conjuntos Banco de imagens/Arquivo da editora Professor, comente com seus alunos que pertencer a A ou a B não exclui a possibilidade de pertencer a ambos. Assim se um elemento pertence à união de dois conjuntos, ele pertence apenas a um deles ou a ambos. A ∩ B = {x| x∈ A e x ∈ B} Exemplo: A = {3, 6} e B = {5, 6}, então A ∩ B = {6} A ∩ B Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos Operações entre conjuntos Diferença entre conjuntos A − B = {x| x∈ A e x ∉ B} Exemplo: A = {3, 6} e B = {5, 6}, então A − B = {3} Observe os diagramas a seguir. A diferença A − B está indicada na parte preenchida. Banco de imagens/Arquivo da editora Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos Operações entre conjuntos Número de elementos da união de dois conjuntos. Considere o diagrama seguinte onde temos o número de elementos dos conjuntos A e B. N(A) = 13 N(B) = 15 N(A ∩ B) = 5 N(A ∪ B) = 8 + 5 + 10 = 13 + 15 − 5 = 23 Banco de imagens/Arquivo da editora N(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Capítulo 2 – funções introdução Ricardo Azoury/Pulsar Imagens Fonte: Dados Fictícios A distância percorrida pelo automóvel é dada em função do tempo, isto é, a distância percorrida depende do intervalo de tempo. A cada intervalo de tempo considerado corresponde um único valor para a distância percorrida. Dizemos, então, que a distância percorrida (d) é função do tempo (t). Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Os itens (a) e (c) são exemplos de funções de A em B Capítulo 2 – funções Definição e notação Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B é uma regra que indica associar cada elemento x ∈ A a um único elemento y ∈ B. Notação: f: A → B ou A B A função f transforma x de A em y de B, ou seja, f: x → y Professor, oriente seus alunos da importância de se dizer função de A em B, por exemplo. Veja que no item c do exemplo, temos uma função de A em B, mas não temos uma função de B em A. Banco de imagens/Arquivo da editora Os itens (a) e (c) são exemplos de funções de A em B Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Domínio, contradomínio e conjunto de imagem de uma função Capítulo 2 – funções Domínio, contradomínio e conjunto de imagem de uma função f é uma função de A em B. O conjunto A é o domínio de f ou D(f). O conjunto B é o contradomínio de f ou CD(f). Para cada x ∈ A, o elemento y ∈ B, chama-se imagem de x pela função f e o representamos por f(x). Assim, y = f(x). O conjunto imagem de uma função é representado por Im(f) Banco de imagens/Arquivo da editora Professor, é de extrema importância conhecer o domínio de uma relação para identificar se a mesma é ou não uma função. Pergunte no final desse slide aos seus alunos se a relação f(x) = 1/x é ou não função. Provavelmente alguns dirão que sim, outros que não. Explique que essa pergunta está incompleta. Por exemplo, se o domínio for R, temos que ela não é função; mas se o domínio for R*, essa relação é uma função. D(f) = {0, 1, 2, 3} CD(f) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Im(f) = {0, 2, 4, 6} Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Construção de gráficos de funções Capítulo 2 – funções Construção de gráficos de funções Para construir o gráfico de uma função dada por y = f(x), com x∈D(f) no plano cartesiano, devemos: Construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente no domínio D e com valores correspondentes para y = f(x). Associar um ponto do plano cartesiano a cada par ordenado (x, y) da tabela. Marcar um número suficiente de pontos até que seja possível esboçar o gráfico da função. Gráfico da função f: ℝ→ ℝ dada por f(x) = 2x + 1 Professor, comente com seus alunos que foram escolhidos valores arbitrários para x. O gráfico é o conjunto de pontos (x, y), com x real e y = 2x + 1, resultando numa reta. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Determinando se um conjunto de pontos é gráfico de uma função Capítulo 2 – funções Determinando se um conjunto de pontos é gráfico de uma função Para que um gráfico cartesiano seja o de uma função num domínio D, qualquer reta perpendicular ao eixo OX que intercepta o gráfico deve fazê-lo em um único ponto ao longo de seu domínio. Exemplo: O gráfico do item (a) é uma função ao longo do domínio D. O gráfico do item (b) não é uma função ao longo do domínio D Banco de imagens/Arquivo da editora Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Função crescente e função decrescente Capítulo 2 – funções Função crescente e função decrescente Função crescente: Se x1 < x2 , então f (x1) < f (x2) Função decrescente: Se x1 < x2 , então f (x1) > f (x2) f é positiva em (−5, −1) e em (5, 6); f é negativa em (−6, −5) e em (−1, 5); f é nula em x = −5, x = −1 e x = 5; f é crescente em (−6, −3] e em [2, 6); f é decrescente em [−3, 2] O ponto x = −3 é um ponto de máximo, e f(x) = 2 é o valor máximo de f(x); ponto x = 2 é um ponto de mínimo, e f(x) = −3 é o valor mínimo de f(x). Banco de imagens/Arquivo da editora Professor, seria bom neste momento comentar sobre a função constante, que não é nem crescente e nem decrescente. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Função injetiva ou injetora Capítulo 2 – funções Função injetiva ou injetora f é injetora quando x1 ≠ x2 , em A ⇒ f (x1) ≠ f (x2) em B. ou f é injetora quando f (x1) = f (x2) , em B ⇒ x1 = x2 em A. Professor, comente com seus alunos que traçando retas perpendiculares ao eixo OX ao longo do domínio, verifica-se que a função é injetora se cada uma dessas retas intercepta o gráfico em um único ponto. Banco de imagens/Arquivo da editora Função injetora Função injetora Gráfico de uma função injetora Gráfico de uma função não injetora. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre

Função não sobrejetora Capítulo 2 – funções Função sobrejetiva ou sobrejetora e função bijetora f: A→ B é uma função sobrejetora ⇒ Para qualquer elemento y ∈ B, pode-se encontrar um elemento x ∈ A tal que f(x) = y. Ou seja, f é sobrejetora quando seu conjunto imagem é igual ao seu contradomínio. f: A→ B é uma função bijetora se ela for, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Professor, alerte seus alunos de funções que não são nem injetoras, nem sobrejetoras e nem bijetoras. Banco de imagens/Arquivo da editora Função sobrejetora Função não sobrejetora Função bijetora Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 1º Bimestre