Unidade 2. Dependência Linear e Base Base no Espaço Vetores no Plano Vetor definido por dois pontos Vetor Posição Soma de vetores da base Ponto médio Módulo de um vetor Distância entre dois pontos Vetor unitário Vetores no Espaço

Dependência Linear Dados os vetores u, v e w e os coeficientes reais a, b, c, onde au+bv+cw=0. O conjunto dos vetores {u,v,w} é linearmente independente se e somente se a=b=c=0 simultaneamente. Analisando os detalhes. Dado {u,v} onde u=-2v  u//v Então {u,v} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de au+bv=0 Onde a=1 e b=2 2. Dado {u,0} caso particular de 1 Então {u,0} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de au+b0=0 Onde a=0 e b 3. Dado {u,v} la/v=au Então {u,v} é linearmente independente (LI) Portanto se au+bv=0 a=0 e b=0

4. Dado {u,v,w} onde w=u+v  u+v-w=0 Então {u,v,w} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de au+bv-cw=0 Onde a=1, b=1 e c=-1 5. Dado {u,v,0} Caso particular de 4 Então {u,v,0} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de au+bv+c0=0 a=b=0 c 6. Dado {u,v,w} sendo u=2v então u-2v+0w=0 Então {u,v,w} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de au+bv+cw=0 Onde a=1, b=-2 e c=0 7. Dado {u,v,w} no espaço Então {u,v,w} é linearmente independente (LI) au+bv+cw=0 Implica que a=b=c=0

Base no Espaço Uma base no espaço é uma terna ordenada (v1,v2,v3), se o conjunto de vetores {v1,v2,v3} é linearmente independente (LI) isto é v1,v2,v3 não são nulos e nem coplanares, então existe uma terna de números reais a, b, c tais que v=av1+bv2+c v3, qualquer que seja v no espaço.

Vetores no Plano Sejam e , não paralelos com a mesma origem conforme vemos a seguir: s2 Os vetores representados: São combinação linear de e s1 Em geral, para cada u no plano há apenas dois números a1 e a2 tal que: u=a1u1+a2u2 Nestas condições {u1 ,u2} é chamado de base no plano se os vetores NÃO são paralelos NEM nulos. Consequentemente, todos os vetores do plano são expressos como combinação linear dos vetores da base. a1 e a2 são chamados de coordenadas e u pode ser também representado como u=(a1,a2)

Na prática utiliza-se as bases ortonormais se os vetores são perpendiculares entre si. y A base ou é chamada de base canônica no plano. x O vetor u é uma soma de dois vetores: u=ux+uy Onde: Coeficientes ou coordenadas do espaço abscissa Ordenada (afastamento) Desta forma o vetor u na base pode também ser escrito como: Exemplo:

Vetor definido por dois pontos x y o A(x1,y1) B(x2,y2) y1 y2 x2 x1 Dados dois pontos no espaço A e B: o vetor pode ser definido através da soma dos vetores que definidos a partir da origem dos sistema de coordenadas Exemplo: Dados os pontos no espaço, A(1,5) e B(3,2), determine o vetor . Este vetor nada mais é do que o vetor representado a partir da origem do sistema de coordenadas . É chamado de vetor posição ou representante natural de .

Vetor Posição x y o A(x1,y1) B(x2,y2) y1 y2 x2 x1 P(x2-x1,y2-y1) O vetor v que liga a origem do sistema de coordenadas ao ponto P é o vetor posição ou o representante natural do vetor original .

Soma de vetores da base y Dados os vetores na base ortonormal . x y A soma dos vetores: Graficamente Genericamente:

Ponto médio y Observando-se o gráfico pode-se verificar: x o Se Então: A(x1,y1) B(x2,y2) y1 y2 x2 x1 M(x,y) Observando-se o gráfico pode-se verificar: Se Então: Portanto: Exemplo: Dados dois pontos A(3,8) e B(7,4) encontre o ponto médio entre A e B.

Módulo de um vetor Dado o vetor u=xi+yj definido na origem do sistema de coordenadas ortonormal. O módulo deste vetor está relacionado com a hipotenusa do triângulo retângulo formado. Portanto: x y Exemplo: Dado o vetor na base ortonormal , determine o seu modulo.

Distância entre dois pontos Com base no cálculo do módulo de um vetor é possível definir-se a distância entre dois pontos no espaço conforme demonstrado abaixo. x y o A(x1,y1) B(x2,y2) y1 y2 x2 x1 Exemplo: Dados os pontos A(1,7) e B(-3,-2). Determine a distância entre A e B.

Vetor unitário É um vetor de módulo 1: O vetor unitário é o representante da direção do vetor que o originou. Exemplo: Dado o vetor v=(2,4), na base ortonormal , determine o vetor unitário da direção de v.

yOz xOz xOy o Vetores no Espaço No espaço (tridimensional) todas as equações apresentadas no plano são equivalentes acrescentando-se o termo referente à terceira coordenada. Desta forma, não é necessário uma apresentação detalhada. x y o z xOy yOz xOz É a base canônica no espaço

x y o z Vetores no Espaço: Dividido em 8 octantes 3 2 7 6 4 1 8 5

o Representação de um vetor na base ortonormal canônica no espaço. z y x y o z

Vetor definido por dois pontos e vetor Posição Soma de vetores da base Ponto médio

Módulo de um vetor Distância entre dois pontos Vetor unitário

E´o Fim E´o Fim