Geometria Espacial – CAp/UERJ Estudo dos Prismas Prof. Ilydio Pereira de Sá

Estudo dos Prismas Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos. ASPECTOS COMUNS Bases são regiões poligonais congruentes; A altura é a distância entre as bases; Arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas; Faces laterais são paralelogramos. Prisma Reto Prisma Oblíquo

são perpendiculares ao plano da base são oblíquas ao plano da base Objeto Prisma reto Prisma oblíquo Arestas laterais têm a mesma medida são perpendiculares ao plano da base são oblíquas ao plano da base Faces laterais são retangulares não são retangulares Prisma Reto Prisma Oblíquo

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela: Base: Hexágono Base: Pentágono Base: Quadrado Base:Triângulo                                                                                                    Prisma hexagonal Prisma pentagonal Prisma quadrangular Prisma triangular Seções nos Prismas Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases. Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais. Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Prisma regular É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares. Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo eqüilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado. Planificação de um Prisma

Volume de um prisma Área lateral do prisma reto O volume de um prisma é dado por: V(prisma) = A(base).h Área lateral do prisma reto A área lateral de um prisma reto é sempre igual à soma das áreas dos retângulos laterais que o formam. Se o prisma for do tipo regular, basta obter a área de um desses retângulos (A) e multiplicar por n (número de lados da base), ou seja: Área Lateral = n A(Face Lateral) = n . L . h (Prismas Regulares) Uma forma alternativa para obter a área lateral de um prisma reto tendo como base um polígono qualquer de n lados é multiplicar 2p (perímetro da base) por h (altura do prisma). (Você sabe dizer o porque?) A(lateral) = 2p.h

Área total do prisma reto A área lateral de um prisma reto é a soma da área lateral com o dobro da área de uma de suas bases. Se o prisma for regular de n lados, podemos escrever a fórmula: Área Total = n . L . h + 2 . Sb (área da base) Contagem dos elementos básicos de um Prisma: Verifique que todo prisma, cuja base é um polígono de n lados, possui: 2 . n vértices; 3 . n arestas; n + 2 faces. Você sabe justificar esse fato?

O denominador foi 4 pois nesse exemplo o prisma é quadrangular. Tronco de prisma Quando seccionamos um prisma por um plano não paralelo aos planos das bases, a região espacial localizada dentro do prisma, acima da base inferior e abaixo do plano seccionante é denominado tronco de prisma. Para calcular o volume do tronco de prisma, multiplicamos a média aritmética das arestas laterais do tronco de prisma pela área da base. O denominador foi 4 pois nesse exemplo o prisma é quadrangular.

Questões Comentadas: 1) Calcular a área total de um prisma quadrangular regular de volume 54 cm3, sabendo que a aresta lateral desse sólido tem o dobro da medida da aresta da base. h L SOLUÇÃO: h = 2 L V = Sb . h = 54, logo, L2 . 2 L = 54 2 L3 = 54 ou L3 = 27, o que acarreta, L = 3 cm. Área Total = n . L . h + 2 . Sb = 4 . 3 . 6 + 2 . 9 = 72 + 18 = 90 cm2

2) Num prisma hexagonal regular, a área lateral é 75% da área total 2) Num prisma hexagonal regular, a área lateral é 75% da área total. Calcule a razão entre a aresta lateral e a aresta da base. SOLUÇÃO: Área Lateral = ¾ . Área Total 6 . L . h = ¾ . (6 . L . h + 2 . Sb) 6 . L . h = 9/2 . L . h + 3/2 . Sb Você deve lembrar a fórmula para o cálculo de Sb, logo, pode terminar a questão e determinar a razão pedida (h / L). A resposta será: