Versor de um vetor; Vetores paralelos; Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor. Aula 5

VERSOR DE UM VETOR Se o vetor 𝑣 não é nulo, o seu versor é um vetor unitário, isto é, de comprimento igual a unidade, e que apresenta a mesma direção e o mesmo sentido de 𝑣 . O versor de um vetor 𝑣 é escrito: 𝑣 𝑣 .

Vetores paralelos Se os vetores 𝑢 = (x1, y1, z1) e 𝑣 = (x2, y2, z2) são paralelos, então 𝑢 = α 𝑣 ou 𝑢 // 𝑣 ⇔ 𝑥 1 𝑥 2 = 𝑦 1 𝑦 2 = 𝑧 1 𝑧 2 Exemplo Verificar se os vetores 𝑢 = (4, −2, 3) e 𝑣 = (−12, 6, −9) são paralelos.

ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR Seja o vetor 𝑣 = x 𝑖 + y 𝑗 + z 𝑘 não-nulo. Ângulos diretores de 𝑣 são os ângulos 𝛼, 𝛽 e 𝛾 que 𝑣 forma com os vetores 𝑖 , 𝑗 e 𝑘 , respectivamente. Cossenos diretores de 𝑣 são os cossenos de seus ângulos diretores, isto é, cos 𝛼, cos 𝛽 e cos 𝛾. z 𝑣 𝛾 𝑘 𝛽 y 𝑖 𝑗 𝛼 x

ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR Para o cálculo destes valores utilizaremos a fórmula: cos 𝛼 = 𝑣 ∙ 𝑖 𝑣 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 1, 0, 0 𝑣 (1) = 𝑥 𝑣 cos 𝛽 = 𝑣 ∙ 𝑗 𝑣 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 0, 1, 0 𝑣 (1) = 𝑦 𝑣 cos 𝛾 = 𝑣 ∙ 𝑘 𝑣 𝑘 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 0, 0, 1 𝑣 (1) = 𝑧 𝑣 Observação: Os cossenos diretores de 𝑣 são precisamente as componentes do versor de 𝑣 .

ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR Exemplo Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores de 𝑢 = 2 𝑖 – 2 𝑗 + 𝑘 .

EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA Considere um ponto A(x1, y1, z1) no ℝ3 e uma direção 𝑣 =(a, b, c). Quer-se descrever os pontos da reta r que possui a direção 𝑣 e passa pelo ponto A. Só existe uma reta que passa por A e tem a direção de 𝑣 .

EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA ℝ3 y x z Um ponto P pertence a r se o vetor 𝐴𝑃 (determinado pelos pontos A(x1, y1, z1) e P(x, y, z) é paralelo a 𝑣 = (a, b, c). Sendo 𝐴𝑃 // 𝑣 , então: 𝐴𝑃 = t 𝑣 (t é algum número real) P – A = t 𝑣 ( 𝐴𝑃 = P – A) P = A + t 𝑣 Escrevendo-se P = A + t 𝑣 em coordenadas, vem: r: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) 𝑣 é chamado de vetor diretor da reta r e t de parâmetro. P A 𝑣 r O

EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA Exemplo 1 Qual a equação vetorial da reta r que passa por A(1, –1, 4) e tem a direção de 𝑣 = (2, 3, 2)? Exemplo 2 Sabe-se que o ponto P(5, 5, 8) pertence à reta r: (x, y, z) = (1, –1, 4) + t(2, 3, 2), determinar o parâmetro t.

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA A partir da equação vetorial da reta (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c), obtêm-se as equações paramétricas. (x, y, z) = (x1, y1, z1) + (at, bt, ct) (propriedade da multiplicação de escalar por vetor) ou ainda (x, y, z) = (x1 + at, y1 + bt, z1 + ct) (propriedade da soma) ou então r: 𝑥= 𝑥 1 +𝑎𝑡 𝑦= 𝑦 1 +𝑏𝑡 𝑧= 𝑧 1 +𝑐𝑡 (condição de igualdade)

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA Exemplo Dado o ponto A(2, 3, –4) e o vetor 𝑣 = (1, –2, 3), pede-se: a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de 𝑣 . b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente. c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4. d) Verificar se os pontos D(4, –1, 2) e E(5, –4, 3) pertencem a r. e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m, 5, n) pertence a r.

EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA Das equações paramétricas x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct Supondo abc ≠ 0, vem t = 𝑥 − 𝑥 1 𝑎 , t = 𝑦 − 𝑦 1 𝑏 , t = 𝑧 − 𝑧 1 𝑐 Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades 𝑥 − 𝑥 1 𝑎 = 𝑦 − 𝑦 1 𝑏 = 𝑧 − 𝑧 1 𝑐

EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA Exemplo Quais as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0, –5) e tem a direção do vetor 𝑣 = (2, 2, –1)?

ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS y x z r1 Considere duas retas r1 e r2 nas direções dos vetores 𝑣 1 e 𝑣 2 , respectivamente. Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo formado pelos vetores 𝑣 1 (vetor diretor de r1) e 𝑣 2 (vetor diretor de r2). Chamando 𝜃 o referido ângulo, então: cos θ = 𝑣 1 • 𝑣 2 𝑣 1 𝑣 2 , com 0 ≤θ≤ 𝜋 2 r2 𝜃 𝑣 1 𝜃 𝑣 2

ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS Exemplo Calcular o ângulo entre as retas r1: e r2: 𝑥 + 2 −2 = 𝑦 − 3 1 = 𝑧 1 x = 3 + t y = t z = –1 – 2t

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Seja um ponto P no ℝ3 e uma reta r, cuja distância entre eles quer-se calcular. Considere um ponto A e um vetor diretor 𝑣 pertencentes à reta. Os pontos A e P determinam o vetor 𝐴𝑃 . Os vetores 𝐴𝑃 e 𝑣 formam um paralelogramo, cuja altura d é também a distância de P até r, denota-se por d(P,r). O cálculo da área desse paralelogramo pode ser obtido por duas maneiras já conhecidas: a) A = (base)(altura) = 𝑣 d b) A = AP x 𝑣 Comparando a) e b), tem-se: d = d(P,r) = | AP x 𝑣 | | 𝑣 | ℝ3 P d A ⊡ r 𝑣

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Exemplo Calcular a distância do ponto P(2, 1, 4) à reta r1: x = −1 + 2t y = 2 – t z = 3 – 2t

Neste caso: d(r1, r2) = d(P, r1) com P ∈ r2 ou d(P, r2) com P ∈ r1. DISTÂNCIA ENTRE RETAS r1 Sejam duas retas coplanares r1 e r2, tem-se três posições possíveis entre elas. r1 e r2 são concorrentes: Neste caso: d(r1, r2) = 0 r1 e r2 são coincidentes: r1 e r2 são paralelas: Neste caso: d(r1, r2) = d(P, r1) com P ∈ r2 ou d(P, r2) com P ∈ r1. r2 r1 = r2 P r1 d ⊡ r2

DISTÂNCIA ENTRE RETAS Sejam duas retas não-coplanares r1 e r2 (retas reversas). Quer-se calcular a distância entre elas.

O volume desse paralelepípedo pode ser calculado por : DISTÂNCIA ENTRE RETAS Seja r1 a reta determinada pelo ponto A1 e o vetor diretor 𝑣 1 e r2, determinada pelo ponto A2 e o vetor diretor 𝑣 2. Os pontos A1 e A2 formam um terceiro vetor 𝐴1𝐴2 . Esses três vetores não-coplanares 𝑣 1, 𝑣 2, 𝐴1𝐴2 determinam um paralelepípedo, cuja altura é a distância entre r1 e r2. O volume desse paralelepípedo pode ser calculado por : V = (área da base)(altura) = | 𝑣 1 x 𝑣 2|d V = |( 𝑣 1, 𝑣 2, 𝐴1𝐴2 )| Comparando a) e b), tem-se: d(r1, r2) = |( 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝐴1𝐴2 )| | 𝑣 1 x 𝑣 2 | 𝑣 2 A2 r2 d ⊡ r1 A1 𝑣 1

DISTÂNCIA ENTRE RETAS Exemplo Calcular a distância entre as retas r1: e r2: x = −1 + t y = x – 3 y = 3 – 2t z = −x + 1 z = −1 – t

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Seja um plano 𝛼 contendo um ponto A(x1, y1, z1), ortogonal a um vetor 𝑛 = (a, b, c), 𝑛 ≠ 0 , chamado de vetor normal ao plano. 𝑛 O ponto P(x, y, z) representa qualquer ponto pertencente ao plano, enquanto que A representa um ponto conhecido. Com o ponto A e o ponto P, podemos montar um vetor ortogonal a 𝑢 . O produto escalar entre eles é igual a zero, isto é, P A 𝛼 𝐴𝑃 • 𝑛 = 0 ou (P – A) • 𝑛 = 0 A equação se transforma em: ax + by + cz + d = 0

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Exemplo 1 Determine uma equação do plano que passa pelo ponto (2, 4, –1) e tem como vetor normal 𝑛 = (2, 3, 4). Encontre também suas intersecções com os eixos coordenados e faça um esboço do plano.

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Exemplo 2 Determine a equação do plano que passa pelos pontos P(1, 3, 2), Q(3, –1, 6) e R(5, 2, 0)

EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

ÂNGULO DE DOIS PLANOS Sejam os planos 𝜋 1 e 𝜋 2 com vetores normais 𝑛 1 e 𝑛 2 , respectivamente 𝑛 1 𝜋 2 𝑛 2 𝜃 𝜃 𝜋 1 Chama-se ângulo de dois planos 𝜋 1 e 𝜋 2 o menor ângulo que um vetor normal a 𝜋 1 forma com um vetor normal a 𝜋 2 . Sendo 𝜃 este ângulo, tem-se cos 𝜃 = 𝑛 1 ∙ 𝑛 2 𝑛 1 𝑛 2 com 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2

ÂNGULO DE DOIS PLANOS Exemplo Determinar o ângulo entre os planos 𝜋 1 : 2x + y – z + 3 = 0 e 𝜋 2 : x + y – 4 = 0.

PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO Sejam uma reta r com a direção do vetor 𝑣 e um plano 𝜋, sendo 𝑛 um vetor normal a 𝜋. I) r // 𝜋 ⇔ 𝑣 ⊥ 𝑛 ⇔ 𝑣 ∙ 𝑛 = 0 II) r ⊥ 𝜋 ⇔ 𝑣 // 𝑛 ⇔ 𝑣 = α 𝑛 𝑣 r r 𝑛 𝑛 𝑣 𝜋 𝜋

INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar. 𝜋 1 r ∙ 𝑛 1 𝜋 2 𝑛 2 ∙

INTERSEÇÃO DE DOIS PLANOS Exemplo Sejam os planos não-paralelos 𝜋 1 : 5x – y + z – 5 = 0 e 𝜋 2 : x + y + 2z – 7 = 0

REFERÊNCIA WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.