Formação Contínua em Matemática para professores do 1º Ciclo “Explorando Sequências”

Preparação da aula: Para pôr em prática esta tarefa já desenvolvemos com os alunos outras que, numa perspectiva construtivista, puderam ajudar a produzir conhecimento novo, tais como: a descoberta dos “números especiais”, com os seus padrões de semelhanças e diferenças e a construção de tabelas para a extracção de regularidades. Preparámos um conjunto de questões que conduzissem os alunos à identificação de regularidades, padrões e, passo a passo, à descoberta do que significam, “sequência geométrica” e “sequência numérica”, definidas pelo padrão por recorrência e pelo padrão do termo geral.

Enquadramento curricular Competências: -Desenvolvimento do sentido de número; -Reconhecimento de formas geométricas simples; -Desenvolvimento da aptidão para descrever figuras geométricas e para completar padrões; -Desenvolvimento da capacidade de prever o resultado de combinar e subdividir formas; -Utilização de linguagem matemática adequada (clara e explícita). Objectivos programáticos: -Explorar e usar regularidades e padrões na adição, na subtracção e na multiplicação, -Reconhecer lados paralelos nos rectângulos; -Reconhecer ângulos rectos nos rectângulos; -Reconhecer o padrão de uma sequência; -Estabelecer conexões entre o conhecimento conceptual e o conhecimento processual.

Organização Os alunos organizaram-se em grupos de dois e foi-lhes distribuído um número impreciso de fósforos. Foi dada a ficha de orientação da tarefa a cada um dos alunos e explicou-se que o tempo de execução estaria limitado aos 45m da aula. Lemos a primeira questão e, em grupo, interpretámo-la. Assim sucessivamente até à última.

Modelo de proposta de trabalho Tarefa: Construir cancelas com fósforos Material: fósforos, papel quadriculado 1-Constrói a sequência das cancelas: 1º Termo 2º Termo 3º Termo 2-Constrói a cancela que corresponde ao 4º Termo, no papel quadriculado. 3- Que semelhanças existem entre as cancelas? _________________________________________________________________ 4- Que diferenças encontras? 5-Como construirias as cancelas seguintes? 6- Regista numa tabela o número de elementos usados para construir cada termo da sequência de cancelas. 7- Como podes obter um termo da sequência a partir da sua ordem? Explica. 8- Qual seria, então, o número de elementos que teria o 12ª termo? Explica.

Concretização das tarefas propostas: Reproduziram as “cancelas” que tinham na ficha e, pelo manuseamento e observação destas construíram facilmente o 4º Termo.

Descobrir semelhanças. Algumas conclusões: “ Todas as cancelas são formadas por quadrados” “ O termo que está antes, está incluído no seguinte” “ Todas as figuras têm 4 lados” “ Há sempre um lado comum nos quadrados” “ Todos são rectângulos, menos o 1 º, que é um quadrado” Houve, então, necessidade de parar e levá-los a reflectir naquela afirmação.

Neste caso, o momento foi propício ao desenvolvimento de um conceito ainda não estruturado: O de que o quadrado também é um rectângulo, com a constatação das suas propriedades relevantes. E acrescentámos: “ Todos os termos desta sequência são rectângulos” “ Cada termo tem sempre mais um quadrado”.

Que diferenças: “As figuras têm tamanhos diferentes” “ Em cada termo há sempre um número diferente de quadrados” “A largura das figuras seguintes mantém-se, mas o comprimento vai sempre aumentando” Propôs-se que se pusesse numa tabela o que descobrimos ( tal como pedia a proposta nº 6). E desafiámos: - Uma das colunas da tabela teria que ser… - O número do termo. - Número de quadrados! - O nº de fósforos!

A Tabela A Tabela

Exploração da Tabela - Se a cada termo corresponde o mesmo número de quadrados, então a coluna 1 e a 2 são iguais. - Agora vamos ver qual será o número de fósforos. – propôs-se. - O 1º termo tem 4, o 2º tem 8! – foram dizendo. - Alto! – Não é assim! Não tem 8! Só tem 7! Porque só pusemos mais 3! - Vamos ver o que aconteceu com o 3º termo. – propôs-se. - Também só pusemos +3! - Em todos pusemos +3, mas todos têm quadrados! E os quadrados têm 4 lados! – comentou um deles. - Ora, porque não podemos por os 4 lados em todos. Senão ficavam uns em cima uns dos outros! - concluíram. - Mas então, como é que vamos saber quantos fósforos terá qualquer termo desta sequência? Como por exemplo o 12º, como está na 8ª questão? – perguntámos.

A descoberta do Termo Geral Ao 2º termo pusemos 1 fósforo, ao 3º pusemos 2 e ao 4º termo 3 … Alguns alunos também continuaram até ao 10º. “Era sempre o nº do termo a multiplicar por quatro fósforos, menos o número do termo anterior” Portanto, concluímos que “o termo geral desta sequência poderia ser representado desta forma, n x 4 - (n - 1)”, e explicámos aos alunos o significado desta expressão. A partir daqui tentaram descobrir o nº de fósforos do 13º termo e naturalmente apareceu o nº do 100º, do 1 000º …

Chegaram ao termo geral Este momento foi muito rico. Era como se a maioria dos alunos estivesse envolvida num processo de investigação na sala de aula. Na realidade era a investigação deles. Ao argumentar, o aluno pôde exercer a sua curiosidade, colocando questões, elaborando estratégias, chegando à generalização de resultados e estabelecendo relações entre conceitos e áreas da Matemática. Ao sistematizar ideias e resultados, são múltiplas as oportunidades para trabalho criativo e significativo para quem o empreende.

Reflexão O que aprenderam os alunos: Esta actividade, além de supor uma comunicação que exigia a utilização de uma linguagem clara, adequada, suficientemente explicita para todos e cada um em particular, envolveu mais que uma área da matemática: o cálculo e a geometria. A associação de ideias dentro de cada área e entre elas permitiu reconhecer princípios gerais, que se poderão aplicar futuramente. O raciocínio lógico teve o seu lugar de honra. Os alunos tiveram que utilizar capacidades de relacionar, inferir, agrupar, argumentar, demonstrar… Os que não têm esta competência desenvolvida encontram neste tipo de actividades uma forma muito criativa de a desenvolver.

Reflexão Podemos afirmar que a maioria aprendeu mais sobre números: as suas relações de quantidade, grandeza, ordem… Descobriram: padrões, a relação de e entre modelos, a sequência de passos, a relação dos números com a geometria, a compreensão e sentido espacial…