Estabilidade de Sistemas de Controle Digital

Estabilidade de Sistemas de Controle Digital O conceito de estabilidade de sistemas já foi introduzido no curso de controle linear, portanto, agora iremos directamente às ferramentas matemáticas úteis para a determinação da estabilidade de Sistemas de Controle Digital. Critério BIBO Definição: Um sistema possui a propriedade de estabilidade externa se toda sequência de entrada limitada produz uma sequência de saída limitada. Esta é a estabilidade BIBO (“Bounded Input – Bounded Output”)  Um sistema linear, discreto e invariante no tempo, com resposta impulsiva g(k) é BIBO – estável se e somente se:

Exemplo Determine se o sistema é ou não estável: Para determinar g(k), utilizaremos a divisão longa:

Logo, a resposta impulsiva g(k) é dada por: Tem-se: Portanto, o sistema é instável.

Relações entre o Plano – S e o Plano – Z Na primeira classe de sistemas discretos foi demonstrado que a transformada Z de um sinal amostrado é a transformada de Laplace de uma seqüência discreta, com a substituição da variável Isto implica que todos os pontos no plano – S tem seu ponto correspondente no plano – Z. Um ponto genérico no plano – S é dado

NO plano Z NO plano S no plano – Z teremos o seguinte ponto: Através do mapeamento Logo, NO plano Z NO plano S eixo imaginário

NO plano S NO plano Z parte esquerda do eixo imaginário dentro do circulo de radio unidade

NO plano S NO plano Z parte direita do eixo imaginário fora do circulo de radio unidade

Resumindo Um sistema é estável se as raízes da equação característica estão na metade esquerda do plano S Um sistema é estável se as raízes da equação característica estão dentro do círculo de rádio unidade no plano Z

Um sistema linear, discreto e invariante no tempo, com função Teorema: Um sistema linear, discreto e invariante no tempo, com função de transferência G(z) é BIBO – estável se e somente se os pólos de G(z) têm modulo menor do que 1.

Exemplo Determine se o sistema abaixo é estável. Os pólos de G(z) são as raízes do denominador, ou seja: Logo Portanto, as raízes têm módulo menor que 1, logo o sistema é BIBO – estável. (as raízes estão dentro do circulo unitário)

Critério de Jury A aplicação do teorema anterior em sistemas que possuem ordem maior que 2 torna-se difícil, uma vez que será necessário utilizar métodos computacionais para se determinar todas as raízes. O critério de Jury estuda a estabilidade de sistemas discretos sem a necessidade de determinar os pólos. 1º Passo: Para uma função de transferência o polinómio característico é D(z). Genericamente teremos: Construa a seguinte tabela

A linha 1 é formada pelos coeficientes de D(z). As linhas pares são formadas pela inversão dos coeficientes da linha anterior As linhas impares são determinadas fazendo:

2º Passo: Aplique o critério de Jury: O sistema é estável se e somente se Se a tabela termina ou se ocorre divisão por zero, em o sistema é instável

Exemplo Determine se a função de transferência abaixo representa um sistema estável ou instável.