A10-1 Definição: Um ponto x*  W diz-se um mínimo relativo ou ponto de mínimo local de f em W se existir um e > 0 tal que f(x)  f(x*) para todo o x  W cuja distância a x* seja menor ou igual a e. Se f(x) > f(x*) para todo o x  W, x  x* com uma distância inferior ou igual a e de x*, diz-se que x* é um mínimo local estrito de f em W. Definição: Um ponto x*  W diz-se um ponto de mínimo global de f em W se f(x*)  f(x) para todo o x  W. Se f(x*) > f(x) para todo o x  W, x  x*, então x* diz-se um mínimo global estrito de f em W. Proposição 1: (Condição necessária de primeira ordem) Seja W um subconjunto de Rn e seja f  C1 uma função em W. Se x* é um ponto de mínimo relativo de f em W, então para qualquer d  Rn que seja uma direcção factível em x*, tem-se f(x*).d  0.

A10-2 Proposição 2: (Condição necessária de segunda ordem) Seja W um subconjunto de Rn e seja f  C2 uma função em W. Se x* é um ponto de mínimo relativo de f em W, então para qualquer d  Rn que seja uma direcção factível em x*, tem-se  f(x*).d  0; se  f(x*).d = 0, então dT. 2f(x*).d  0. Proposição 3: (Condição necessária de segunda ordem - sem restrições) Seja x* um ponto interior do conjunto W e suponha-se que x* é um ponto de mínimo relativo de f em W e que f  C2. Então  f(x*) = 0; Para todo o d, dT. 2f(x*).d  0. Proposição 4: (Condição suficiente de segunda ordem - sem restrições) Seja f  C2 uma função definida numa região em que o ponto x* é um ponto interior. Suponha-se adicionalmente que  f(x*) = 0; H =  2f(x*) é definida positiva. Então x* é um ponto de mínimo relativo estrito de f.

A10-3 Definição: Uma função f definida num conjunto convexo W diz-se convexa se, para todo o x1, x2  W e todo o a, 0  a  1, se verificar f(ax1 + (1 - a)x2)  af(x1) + (1 - a)f(x2). Se, para todo o a, 0  a  1 e x1  x2, se verificar f(ax1 + (1 - a)x2) < af(x1) + (1 - a)f(x2), então f diz-se estritamente convexa. Definição: Uma função g definida num conjunto convexo W diz-se côncava ou estritamente côncava se f = -g for convexa ou estritamente convexa, respectivamente. Teorema 1: Seja f uma função convexa definida num conjunto convexo W. Então o conjunto G onde f atinge o seu mínimo é convexo e qualquer mínimo relativo de f é um mínimo global. Teorema 2: Seja f  C1 uma função convexa definida num conjunto convexo W. Se existir um ponto x*  W tal que para todo o y  W, f(x*)(y - x*)  0, então x* é um mínimo global de f em W.

A10-4 Teorema 3: Seja f uma função convexa definida num conjunto convexo fechado e limitado W. Se f possuir um máximo em W este é obtido num ponto extremo de W. Teorema 4: (Condições de Kuhn-Tucker - 1ª ordem) Seja x* um ponto de mínimo relativo para o problema min f(x) s.a. h(x) = 0, g(x)  0 (1) e suponha-se que x* é um ponto regular para as restrições. Então, existe um vector l  Rm e um vector m  Rp, com m  0, tais que  f(x*) + l h(x*) + m g(x*) = 0 mg(x*) = 0 Teorema 5: (Condições de Kuhn-Tucker - 2ª ordem) Suponha que as funções f, g e h  C2 e que x* é um ponto regular das restrições. Se x* for um ponto de mínimo relativo para o problema (1), então existe um l  Rm e um m  Rp, com m  0, tais que as condições de Kuhn-Tucker se verificam e L(x*) = F(x*) + lH(x*) + mG(x*) é semi-definida positiva no sub-espaço tangente às restrições activas.