2. Modelagem no Domínio da Freqüência Objetivo: Função de Transferência Revisão sobre Transformada de Laplace A transformada de Laplace é definida como: em que: s = σ + jω é uma variável complexa. O limite inferior da integral significa que, mesmo que f(t) seja descon-tínua em t=0, pode-se começar a integração antes da referido limite, desde que a integral convirja. Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência A transformada inversa de Laplace é é dada por: onde u(t) = 1, p/ t > 0 ou u(t) = 0, p/ t < 0. (função degrau unitário) Algumas funções representativas Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Problema: Obter a transformada de Laplace de Solução: como a função f(t) não contém impulsos, pode-se substituir o limite inferior por 0, então: Teoremas da Transformada de Laplace Teorema da linearidade Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Teorema do deslocamento de freqüência Teorema do deslocamento no tempo Teorema do fator de escala Teorema da derivação Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Teorema da integração Teorema do valor final Teorema do valor inicial Problema: Obter a transformada inversa de Laplace de Solução: utilizando o teorema do deslocamento da freqüência: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Solução: e que Pode-se concluir que a transformada de: assim; Expansão em Frações Parciais Para obter a transformada inversa de Laplace de funções mais complicadas, pode-se convertê-la em uma soma de termos simples, cujas transformadas são conhecidas. Se F(s) = N(s)/D(s), onde a ordem de N(s) é inferior a ordem de D(s), então é possível fazer um expansão em frações parciais. Se N(s) possuir ordem superior a ordem de D(s), deve-se dividir N(s) por D(s), sucessivamente, até que o resto tenha um numerador, com ordem inferior ao denominador. Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Expansão em Frações Parciais Por exemplo, se: Efetua-se a divisão de N(s) por D(s), o que resulta em: Aplicando-se a tabela de transformada inversa de Laplace: O termo restante pode agora ser expandido em frações parciais com será apresentado a seguir. Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 1: Raízes reais e distintas Considere: A função F(s) em frações parciais como: onde k1 e k2 são denominados de resíduos da expansão. Para obter k1, multiplica-se F(s) por (s+1), ou seja: Agora, fazendo s = -1, Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 1: Raízes reais e distintas Analogamente para k2, Substituindo k1 e k2 em F(s) e aplicando a Tabela da transformada de Laplace, obtém-se que: Generalizando, Se a ordem de N(s) for inferior à ordem de D(s). Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 1: Raízes reais e distintas Para calcular cada um dos resíduos, faz-se: Fazendo s = -pm, o termo km pode ser determinado como: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Problema Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y(t) utilizando Laplace. Admita condições iniciais nulas. Solução: aplicando Laplace, obtém-se, Conseqüentemente: onde, , e Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Solução: portanto, Caso 2: Raízes reais e repetidas Seja: A expansão da função F(s) em frações parciais é Na expressão acima, k1 = 2 pode ser obtido da forma convencional. K2 pode ser obtido como segue: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 2: Raízes reais e repetidas O que resulta em: fazendo s = -2, obtém-se k2 = -2. Para obter k3, deriva-se a expressão acima em relação a s, atribuindo s = -2; k3 = -2. Desta forma: Genericamente: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 2: Raízes reais e repetidas Ou seja: Para determinar k1 a kr, determina-se F1(s) dada por: k1 pode ser determinado, fazendo s = -p1. k2 a kr é obtido por: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias Seja: Esta função pode ser expandida como: k1 é obtido pelo método habitual, ou seja; k1 = 3/5. Para obter k2 e k3, faz-se: Substituindo k1 = 3/5 e simplificando as frações, obtém-se: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias Desta forma; k2 = -3/5 e k3 = -6/5. Assim, Por Tabela, obtém-se que: Adicionando os dois termos: Reescrevendo F(s) como: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias Comparando com a expressão anterior, obtém-se que: Utilizando-se identidades trigonométricas, Fazendo: e , ou onde Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias Generalizando: Forma alternativa: k1 e k2 são determinados na forma convencional e k3 é o complexo conjugado de k2, ou seja: donde, Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Caso 3: Raízes complexas ou imaginárias Como: e Pode-se reescrever f(t) como, Utilizando as definições de cosseno e seno acima, onde: É importante observar que os resíduos da expansão são números complexos. Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Função de Transferência Considere a representação de sistema mostrada a seguir: A forma geral da Eq. diferencial de ordem n linear e invariante no tempo, onde c(t) é a saída e r(t) é a entrada. Por Laplace, termos de condição inicial de c(t) termos de condição inicial de r(t) Admitindo-se, condições iniciais nulas: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Função de Transferência Escrevendo a saída C(s) em função de R(s), obtém-se: A relação de polinômios acima G(s), denomina-se de Função de Transferência e o seu cálculo é feito com condições iniciais nulas. Problema: Obter a função de transferência representada por: Solução: Aplicando Laplace, Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Resposta do Sistema a partir da Função de Transferência Problema: Obter a resposta de c(t), a uma entrada r(t) = u(t) de: Solução: Aplicando Laplace, Expandindo em frações parciais, obtém-se Finalmente, aplicando a transformada inversa de Laplace, Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedâncias Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga Impedância Admitância Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Problema: Método das Malhas Obter a função de transferência Vc(s)/V(s) do circuito abaixo Solução: Somando as tensões, Como q(t)= CvC(t), Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Resulta em: Método da Transformada de Laplace Resolvendo em função de I(s)/V(s), como: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Método dos Nós Circuitos complexos: Malhas 1 2 1. Substituir os valores dos elementos passivos por suas impedâncias. 2. Substituir as fontes pelas suas respectivas no domínio s. 3. Arbitrar o sentido das correntes. 4. Escrever as leis de Kirchhoff das tensões para cada malha. Solução: Somando as correntes: 5. Resolver o sistema de equações. 6. Elaborar a função de transferência. Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Problema: Dado o circuito abaixo, obter a FT I2(s)/V(s) Solução: Resolvendo as malhas, Na forma matricial, resulta em: Combinando os termos: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Problema: Dado o circuito abaixo, obter a FT I2(s)/V(s) Usando a regra de Cramer Assim a FT é dada por: onde: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Padrão de Solução: Problema: Dado o circuito abaixo, obter a FT VC(s)/V(s) Solução: Resolvendo os nós, Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador Operacionais: Características 1. Entrada diferencial, v2(t)-v1(t). 2. Elevada impedância de entrada. 3. Baixa impedância de saída. 4. Elevado ganho de amplificação A saída vo(t) é dada por: Amplificador operacional inversor Pela lei de Kirchhoff, Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador operacional inversor Como o ganho A é elevado, Igualando as duas correntes, Amplificador operacional não inversor A tensão de saída Vo(s) é dada por: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador operacional não inversor Usando a divisão de tensão, Substituindo na Eq. anterior, Para valores elevados de A, resulta em: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação Relações força-velocidade, força-deslocamento e impedância Componente Força-velocidade Força-deslocamento Impedância Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação Problema: Obter a FT X(s)/F(s) do sistema abaixo Solução: Utilizando a Lei de Newton, Aplicando Laplace para condições iniciais nulas, Consequentemente, a FT é Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação Problema: Obter a FT X2(s)/F(s) do sistema abaixo Solução: Fazendo o diagrama de forças de cada bloco, Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação Escrevendo as equações de cada massa, obtém-se que: A matriz que relaciona a entrada com as saídas é dada por: Conseqüentemente, a FT requerida é: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Translação Problema: Escrever, mas não resolver o sistema abaixo. Escrevendo as equações de cada massa, obtém-se que: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Rotação Relações torque-velocidade, torque-deslocamento e impedância Componente Força-velocidade Força-deslocamento Impedância Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Rotação Problema: Obter a FT θ2(s)/T(s) do sistema abaixo Solução: Escrevendo as expressões para o torque: A partir das Eqs. Acima, obtém-se que: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos de Rotação Em que: Problema: Escrever, mas não resolver o sistema abaixo. Escrevendo as equações para cada massa, obtém-se que: Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens Considere o sistema com engrenagens abaixo: Com base na Fig. ao lado: ou Admitindo que o sistema é conservativo, Portanto, os torques são diretamente proporcionais à relação do número de dentes das engrenagens. Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens Considere o sistema com engrenagens abaixo: O torque pode ser refletido para outro lado da engrenagem, como mostrado na Fig. (b) As impedâncias mecânicas, também podem ser refletidas para o lado oposto ao da engrenagem, mediante a relações dos dentes das engrenagens. Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens Generalizando, pode-se afirmar o seguinte: As impedâncias mecânicas de rotação podem ser refletidas por meio de trens de engrenagens, multiplicando-se as mesmas por: Número de dentes da Engrenagem do eixo destino Engrenagem do eixo origem 2 Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico Considere o diagrama esquemático do motor CC dado por: Em que a f.e.m. é dada por: Por Laplace, A relação ia/ea é dada por: O torque produzido pelo motor, Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico Substituindo o valor de Ia e Vb em Ea, obtém-se que A relação torque x deslocamento angular é dado por: O que resulta em: consequentemente, Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico Manipulando a expressão anterior, obtém-se que: A expressão acima pode ser reescrita como: Para utilização do modelo acima é necessário determinar K e : Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico Para isso, deve-se obter, inicialmente, Jm e Dm, como: e As constantes elétricas, podem ser obtidas com um dinamômetro, com La = 0, ou seja, Ea = cte. Escrevendo a expressão acima, em termos dos seus valores médios, A equação acima descreve uma reta em função da velocidade. Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico Essa reta descreve o comportamento do torque-velocidade da máquina, cujo extremos são: Torque de partida: Tbloq Velocidade em vazio: vazio consequentemente, e Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Linearização Algumas não linearidades 1. Reconhecer o componente não linear (Eq. diferencial). 2. Linearizar o sistema para pequenos sinais em torno do equilíbrio. 3. Aplicar a transformada de Laplace na Eq. Linearizada. Prof. Ricardo Ribeiro

2. Modelagem no Domínio da Freqüência Linearização Procedimento: considere o gráfico abaixo: Se o sistema deve operar no ponto A, de onde: e portanto, ou onde o novo conjunto de eixos, x e f(x) são criados no ponto A. Prof. Ricardo Ribeiro