Introdução à solução de equações diferenciais ordinárias Pontos mais importantes: - motivação, classificação de equações diferenciais - método de Euler - métodos de Runge-Kutta de segunda ordem (Huen e “Midpoint”) - método de Runge-Kutta de quarta ordem - caso especial: método de Crank-Nicolson 1

As leis fundamentais da natureza são baseadas em observações e são expressas por equações diferenciais. Exemplo: segunda lei de Newton: A equação anterior chama-se equação diferencial porque é composta por uma variável dependente e a respectiva derivativa em função da variável independente. Para obter v, a equação tem que ser integrada! 2

outro exemplo: Te Ts=T Qint . me ms = me Qext T depósito com entrada e saída de massa (igual caudal), podendo haver trocas de energia com o ext. e fontes int. Y= T ( t ) Y = = f (t , T ) .

-ordem da equação diferencial: -primeira ordem -segunda ordem -linearidade: -linear (Poisson) -não linear Só em casos simples podemos resolver equações diferenciais não lineares analiticamente! 4

sabe-se y’ = f (x, y) , conds. iniciais : (xo , yo ) ou (xo , y’o ) pretende-se y = F (x ) conj. pontos (xi , yi ) solução y=F(x) Solução: yi+1=yi+fx x=xi+1-xi Nova estimativa = estimativa anterior + declive  passo 5

o erro local é da ordem de Dx2 Método de Euler y = F(x) y x xi yi xi+1 e yi+1 Dx método de 1ª ordem (1 estimativa f em cada passo) o erro local é da ordem de Dx2 do desenvolvimento em série de Taylor : 6 o erro global vai-se acumulando ( ~ x)

Método de Euler(t=4 min): exemplo : T V=100 l 20ºC 3 l/min Solução analítica: Método de Euler(t=4 min): 7

Métodos de Runge-Kutta de segunda ordem -aplicando a expansão de Taylor (sem prova), obtemos: f=(a1k1+a2k2) então, yi+1=yi+(a1k1+a2k2)×x onde k1= f(xi,yi) k2=f(xi+p1 x, yi+q11k1 x) Três equações 4 incógnitas um grupo de métodos -constantes a1, a2, p1 e q11 são para determinar Uma constante (a2) é escolhida “arbitrariamente”. 8

Método de Heun (Euler melhorado) (a2=0,5) yi+1=yi+(0.5k1+0.5k2)×x onde k1= f(xi,yi) k2=f(xi+x, yi+k1x) y = F(x) y x xi yi declive médio das tangentes em xi e xi+1 xi+1 yi+1 método 2ª ordem (2 estimativas f /passo) Nota: idêntico à solução de Euler o erro local é da ordem de Dx3 9

Método de Heun (t=4 min): exemplo : T V=100 l 20ºC 3 l/min Solução Heun : Método de Heun (t=4 min):

Método de “Midpoint” (Euler modificado) (a2=1) yi+1=yi+k2x onde, k1=f(xi, yi) k2=f(xi+0.5 x, yi+0.5 k1 x ) y = F(x) y x xi yi declive da tangente no ponto médio yi+1 xi+Dx/2 xi+1 método 2ª ordem (2 estimativas f /passo) o erro é da ordem de Dx3 11

Método de Midpoint (t=4 min): exemplo : T V=100 l 20ºC 3 l/min Solução “Midpoint” : Método de Midpoint (t=4 min): 12

Métodos de Runge-Kutta de quarta ordem (4 avaliações da f/passo) yi+1=yi+1/6(k1+2k2 +2k3 +k4)x onde k1= f(xi,yi) k2=f(xi+0.5x, yi+0.5 k1 x) k3=f(xi+0.5 x, yi+0.5 k2 x) k4=f(xi+ x, yi+k3 x) 13

exemplo : Solução RK4 : T V=100 l 20ºC 3 l/min t=4 min: 14

Caso especial: método de Crank-Nicolson se y’ = f ( y ) ex: dT/dt = f (T) y = F(x) y x xi yi declive da tangente para y médio yi+yi+1 2 yi+1 xi+1 semi-implícito método 1ª ordem com precisão equivalente a 2ª 15

Solução Crank-Nicolson : T V=100 l 20ºC 3 l/min Solução Crank-Nicolson : t=4 min): 16

Comparação dos métodos 17