Números Complexos 1 Prof. Marlon

Números Complexos 1- Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito às regras e leis de operações dadas a seguir: itens (2) a (5). (2) O par (x, 0) é identificado como o número real x, ou seja, (x, 0) = x; (0, 1) = i é chamado de unidade imaginária; (x, y), juntos e nessa ordem, representam a parte real e a parte imaginária, isto é, R(z) = x e Im(z) = y.

(3) (x1, y1) = (x2, y2)  x1 = x2 e y1 = y2 Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2), então: (4) z1 + z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2) (5) z1 z2 = (x1 y1) . (x2 y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2 +x2 y1) (6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito como a soma de um número real e um número complexo puro z = (x, y) = x + yi Como consequência da equação (6), pode se escrever a fórmula (5) como: (x1+ y1i) . (x2+ y2i) = x1 x2 + (x1 y2)i + (x2 y1)i + (y1 y2)i2 = x1 x2 - y1 y2 + (x1 y2 + x2 y1)i

Exemplo: Dados os números z1 = (2,1) e z2 = (3, 0), Calcular z1 + z2 , z1 . z2 e z12 Solução: z1 + z2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1) z1 z2 = (2, 1) . (3, 0) = (2.3 - 1.0, 2.0 + 3.1) = (6, 3) z12 = (2, 1) . (2, 1) = (2.2 – 1.1, 2.1 + 2.1) = (3, 4)

2 - Propriedades P1) Subtração (inverso da adição) z1 - z2 = z3 z1 = z2 + z3 ou (x2 , y2) + (x3 , y3) = (x1 , y1) Assim, z1 - z2 = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 - x2) + (y1 - y2)i P3) Divisão (inversa da multiplicação) (z1 / z2) = z3 se z1 = z2 z3, (z2  0) ou (x2 x3 - y2 y3 , x2 y3 + x3 y2) = (x1 , y1)

Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo em relação a x3, y3, temos: z1/z2 = x1x2 + y1y2 + (x2y1 - x1y2)i , com: z2  0. x22 + y22 x22 +y22 Assim: z1 : z2 = z1 . 1 , _ 1 _ = 1 . 1 , com: z2  0 e z3  0. z2 z2.z3 z2 z3 Ex2): Determine o valor da expressão: [(-1 + 3i).(1 + 2i)] / (2 - i) + 2i = [(-1- 6 + i) / (2 - i)]+ 2i = [(-7 + i) / (2 - i)] + 2i = [(- 14 -1) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i = -3 + i

Leis para adição e subtração: a) z1 + z2 = z2 + z1 (comutativa) b) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2)+ z3 (associativa) c) z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3 (associativa) d) z1 (z2 + z3) = z1 z2+ z1z3 (distributiva)