Geometria Espacial

Esfera

A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

Elementos da esfera Polos: interseções da superfície com o eixo Equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície. Paralelo: é uma secção (circunferência) perpendicular ao eixo. É “ paralela” ao equador. Meridiano: é uma secção circunferência) cujo plano passa pelo eixo.

Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Se a secção passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera.

Superfície Esférica Chama-se superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual ao raio. A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no raio.

Área da superfície esférica A superfície esférica tem uma massa igual à massa de quatro círculos máximos. admitindo que a espessura da superfície esférica é a mesma dos círculos máximos. Desta forma, então:

Volume da esfera Vamos imaginar uma esfera como a reunião de infinitas pirâmides

A altura de cada uma das pirâmides é o raio r da esfera. Desta forma, teremos que o volume da esfera é igual ao volume destas n pirâmides. O que nos permite concluir que o volume da esfera pode ser obtido por:

Volume da esfera – Princípio de Cavalieri Sólidos de mesma altura, cuja área de secção são iguais, possuem volumes iguais:

Volume da esfera – Princípio de Cavalieri H = 2R O sólido X é um cilindro equilátero (H = 2R) de onde foram retirados dois cones isósceles (altura = raio da base). O volume do sólido X é igual ao volume do cilindro “menos” os volumes dos dois cones:

Exemplos: 1. Determinar a área total e o volume de uma esfera de raio 6cm. 2. É dada uma esfera de raio 10cm. Um plano  secciona essa esfera a uma distância de 6 cm do centro da mesma. Calcule o raio da secção.

Secção da esfera Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Qualquer secção da esfera é um círculo. O que não acontece com os demais sólidos (as secções variam de acordo com a posição dos planos de corte).

Secção da esfera OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R.

Secção da esfera CÍRCULO MENOR CÍRCULO MÁXIMO Se o plano secante passa pelo centro da esfera temos como secção um círculo máximo da esfera.

Secção da esfera Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.

r 13²= 12² + r² 169 = 144 + r² 169 – 144 = r²= 25 r = √25 r = 5 Exemplo (FUVEST/SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distancia de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência em cm é de: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Após devida interpretação, observa-se que o triângulo destacado é um triângulo retângulo com hipotenusa 13 e catetos 12 e r. Daí, utilizando o Teorema de Pitágoras: =13 12 plano 13²= 12² + r² 169 = 144 + r² 169 – 144 = r²= 25 r = √25 r = 5 r

Zona Esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo:    Zona esférica é a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:  passa pelo centro da circunferência que contém o arco; não passa por nenhum extremo do arco, nem intercepta o arco em outro ponto;  é coplanar com o arco

Calota Esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo: É a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que: passa pelo centro da circunferência que contém o arco;  passa por um extremo do arco e não o intercepta em outro ponto; é coplanar com o arco

Área da Calota Esférica e da Zona Esférica

Fuso Esférico O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo  em torno de seu eixo. 0 << 2 (em rad) É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza o fuso é o ângulo medido na secção equatorial.

A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples: Ângulo Área

Cunha Esférica A cunha esférica é uma parte da esfera que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo  em torno de seu eixo. 0 << 2 (em rad) É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza a cunha é o raio da esfera e a medida do diedro

O volume da cunha esférica também pode ser obtida por uma regra de três simples: Ângulo Volume

Exemplos: 1. Determinar a área de um fuso esférico de 300, contido numa superfície esférica de raio 4cm. 2. Determinar o volume da cunha esférica obtida a partir da situação anterior.

Exemplo: Calcular a área total e o volume de uma cunha esférica contida numa esfera de raio igual a 4 cm, sabendo que o ângulo central da cunha mede 60º. 60º

Resolução: Volume: 60º

Resolução: Área Total 60º

Inscrição e Circunscrição do Cubo na Esfera

Inscrição da Esfera no Cilindro