Sistemas no Espaço de Estados Controle Dinâmico

Lista de Exercícios (Ogata 4ed ) Modelagem: B.3.9 a B.3.12, B.3.15 Controlabilidade e Observabilidade: B.11.13-17 Projeto no Espaço de Estados: B.12.1, 2, 3, 5, 6 e 8

Representação de um sistema no espaço de estados Sistema causal

Representação em espaços de Estados equação dinâmica: com pode ser escrita como

Forma canônica controlável

Forma canônica controlável representação em diagrama de blocos

Forma canônica observável Transpondo a forma canônica controlável

Forma canônica observável

Forma canônica diagonal Se a função de transferência G(s) tem raízes distintas

Forma canônica diagonal

Exemplo: Formas canônicas Considere um sistema definido pela equação dinâmica: Obter realizações no espaço de estado nas formas: Canônica controlável Canônica observável Canônica diagonal

Exemplo: Formas canônicas A partir de Ou de Por inspeção obtemos diretamente a forma canônica controlável:

Exemplo: Formas canônicas Transpondo a forma canônica controlável, obtemos a forma canônica observável

Exemplo: Formas canônicas expandindo G(s) em frações parciais:

Exemplo: Formas canônicas Obtemos a forma diagonal

Não unicidade A realização no espaço de estados não é única:

Note que no entanto, o polinômio característico não muda

Teorema de Cayley-Hamilton Toda matriz A satisfaz a sua própria equação característica Se então

Controlabilidade Definição O sistema é dito de estado completamente controlável se para qualquer estado inicial , e qualquer estado existe uma entrada que transfere x0 para x1 em um intervalo de tempo finito. Caso contrário o sistema é dito não-controlável.

Exemplo Em que condições para k1, k2, b1 e b2 a posição (x1,x2) da plataforma não é controlável?

Solução

Exercício Determinar os valores de b que tornam o sistema não controlável

Resposta_Exercício Determinar os valores de b que tornam o sistema não controlável

Observabilidade Se o estado inicial pode ser determinado, com o conhecimento de u(t) podemos reconstruir/deduzir toda a trajetória x(t).

Observabilidade

Pseudo-prova_Teorema Observabilidade Sabemos que a solução geral de É da forma conhecido desconhecido medido

Pseudo-prova_Teorema Observabilidade Como observação de x0 fazemos Assim, podemos observar de forma única o estado inicial desconhecido se e só se

Pseudo-prova_Teorema Observabilidade Derivando

Pseudo-prova_Teorema Observabilidade Assim, podemos observar de forma única o estado inicial desconhecido se e só se Ou seja, devemos ter posto coluna pleno Pelo Teorema de Cayley Hamilton precisamos apenas considerar até k=n-1

Exemplo Conhecendo-se a entrada u(t) e medindo-se a saída y(t) por um período de tempo suficiente, pode-se determinar o valor de x2(0)?

Solução Sistema observável

Exercício