AULA 4 – CÁLCULO COM GEOMETRIA COM ANALÍTICA II Fonte: Anton, Stewart, Thomas, Buske Prof. Guilherme J. Weymar CENG - UFPel
TÓPICO: Retas e planos no espaço: Retas e segmentos de reta no espaço; distância entre um ponto e uma reta; equações para planos; retas de intersecção; Distância de um ponto a um plano; Ângulo entre planos.
Retas e segmentos de reta no espaço: No plano uma reta é determinada por um ponto e um nº dando o seu coeficiente angular. No espaço uma reta é determinada por um ponto e um vetor dando a direção da reta. Suponha L uma reta no espaço passando por um ponto Po paralela a um vetor v = v1i + v2j + v3k. Então L é o cjto de todos os ptos P para os quais PoP é paralelo a v e PoP = tv para algum escalar t.
Exemplos 1 e 2 ...
A forma vetorial para uma reta no espaço é mais reveladora se pensarmos em uma reta como a trajetória de uma partícula saindo da posição Po(xo,yo,zo) e movendo-se na direção e no sentido do vetor v. Reescrevendo a equação 2 temos:
A distância entre um ponto e uma reta no espaço: Para encontrar a distância de um ponto S a uma reta que passa por um pto P paralelo ao vetor v, identificamos o valor absoluto da componente escalar PS na direção do vetor normal à reta, que na figura é |PS|senθ, o que equivale a: Exemplo ...
Equações para planos no espaço:
Exemplos ...
Retas de intersecção:
Exemplo ...
Distância de um ponto a um plano: Se P é um ponto no plano com normal n, então a distância de qualquer ponto S até o plano é o comprimento da projeção ortogonal de PS em n. Ou seja, a distância de S até o plano é:
Ângulo entre planos: O ângulo entre planos que se cruzam é definido como o ângulo (agudo) determinado pelos vetores normais.