Vetores III

Produto Escalar Dados dois vetores u e v não nulos, e escolhido um ponto O qualquer, temos: A=O+u e B=O+v Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo AÔB determinado pelas semi-retas OA e OB

Indicamos AÔB=(u,v), onde 0<=(u,v)<=π Observe que se (u,v) = 0, os vetores u e v têm mesmo sentido e se (u,v) = π , estes vetores têm sentidos contrários

Produto Escalar Sejam u e v vetores não nulos. O produto escalar de u por v, indicado por u . v, é o número real u . v = | u | | v | cos(u,v) Se um dos vetores for nulo temos u . v = 0

Exemplo Considere um quadrado ABCD de lado 2u: 1) AB . BC = | AB| | BC| cos 90º = 0 2) AB . AC = | AB| | AC| cos 45º = 4 3) AB . CD = | AB| | CD | cos180º = -4.

Produto Escalar Sejam u um vetor não nulo e v um vetor qualquer. O vetor v se exprime de maneira única na forma v=v1+v2, onde v1 é paralelo a u e v2 é ortogonal a u v u

Produto Escalar Chamamos o vetor v1, de projeção de v na direção de u e indicamos por projuv=v1

Interpretação Geométrica Se v é um vetor qualquer e u um vetor unitário, então v1=proju v = (v . u) u Como v1 // u, temos v1=t u Basta mostrar que v . u = t

Interpretação Geométrica O ângulo θ=(u, v) é agudo Temos t > 0, e daí | v1 | =| t | | u |= t

Interpretação Geométrica Por outro lado, o triângulo ABC é retângulo em A t=|v1|=|v| cosθ =| v | | u | cos θ = v . u

O ângulo θ’=(u, v) é obtuso temos t < 0, e daí | v1 |= | t | | u |=- t Além disso, o ângulo (u, v) = π-θ

Considere o triângulo retângulo EFG t =-|v1|=-|v|cosθ=-|v||u|cosθ=|v||u|cos(π-θ) = v . u

Medida Algébrica Se 0≠| u |, temos proju v = projuº v=(v.uº)uº Chamamos v.uº, a medida algébrica da projeção de v na direção de u e indicamos med alg proju v

Exemplo Dados u≠0, |v|=6 e (u,v) = 60º, temos: med alg proju v=v.uº= | v || uº| cos 60º= 6x1x1/2=3 Daí, proju v=3uº

Exemplo Dados a ≠ 0 , | b| = 8 e ( a , b) =120º med alg proja b = b . aº = | b | | aº | cos120º = 8x 1x -1/2 =-4 Daí, proja b = -4aº

Propriedades 1) v . u = u . v 2) u . v = 0  u é ortogonal a v 3) u . u = |u|2 4) t (v . u) = (t v ). u = v .(t u)

Propriedades 5) u .( v +w ) = u.v + u.w Nas propriedades, u, v e w são vetores quaisquer e t é um número real As quatro primeiras propriedades decorrem diretamente da definição do produto escalar

Propriedade 5 (prova) Se um dos vetores for nulo, a verificação é imediata. Considere, na figura, os vetores u , v e w não nulos e os pontos O, A, B e C

A = O + v , B = A + w e C = O + u observe que: med alg proju (v +w) = med alg proju v + med alg proju w ( v+ w ). u° = v . u° + w . u° ( v+ w ).(| u |u° ) = v .(| u |u° ) + w.(| u |u°) Então, ( v +w ) . u = v . u + w . u Pela propriedade 1, temos: u . ( v + w ) = u . v + u . w

Expressão Cartesiana Dada uma base ortonormal { i, j, k} e os vetores u =(x1, y1, z1) e v= (x2 , y2 , z2 ) u . v = (x1i+ y1j+ z1k) . ( x2 i+ y2 j+ z2k) =(x1x2)i.i+(x1y2)i.j+(x1z2)i.k+(y1x2)j.i+ (y1y2)j.j +(y1z2)j.k+(z1x2)k.i+(z1y2)k.j+(z1z2)k.k

Como { i , j, k} é uma base ortonormal, seus vetores satisfazem às relações: i . j = j . k = k . i = 0 e i . i = j . j = k . k =1 u . v = x1x2 + y1y2 + z1z2

| u |2 = u . u = x12 + y12 + z12 | u |= u v  u . v = x1x2 +y1y2 +z1z2= 0

Exemplo Dados os vetores u = (1,2,2) e v = (2,0,2), temos u . v = ?

Exemplo Dados os vetores u = (1,2,2) e v = (2,0,2), temos u . v = 2 + 0 + 4 = 6 | u |= uº = u/|u|= 1/3(1,2,2)

cos(u, v) = ? sendo w = (0,2,-2), w u? med alg proju v = ? proju v = ?

cos(u, v) = (u .v)/(| u || v |) = sendo w = (0,2,-2), u w pois u .w =0 med alg proju v = v . uº = 2 proju v = (v . uº)uº = ((2,0,2).(1/3,2/3,2/3)) (1/3,2/3,2/3) = (2/3,4/3,4/3)