Introdução a Lógica Matemática O cálculo proposicional x álgebra dos conjuntos João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria de Eletrotécnica CEFET-ES Introdução a Lógica Matemática - 2007/1

O cálculo proposicional e a álgebra dos conjuntos O Cálculo Proposicional e a Álgebra dos Conjuntos possuem estruturas semelhantes. Toda fórmula do Cálculo Proposicional determina uma operação correspondente entre conjuntos: a negação (~ ) corresponde à complementação ( ’ ); a conjunção (۸) corresponde à intersecção (∩) ; a disjunção (۷) corresponde à união (U). As variáveis proposicionais podem servir como variáveis simbolizando conjuntos na nova expressão. Exemplo: (( p ۷ q) ۸ ~ p) corresponde a (( p U q ) ∩ p’) “ Podemos expressar, as operações entre conjuntos através dos DIAGRAMAS DE EULER-VENN. Esta técnica permitirá a prova de silogismos categóricos “ Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 2

Diagramas de Euler-Venn 1/3 1 – COMPLEMENTAÇÃO : p’ que corresponde à NEGAÇÃO :~p p ~p onde as linhas (1) e (2) da tabela correspondem às regiões (1) e (2) do diagrama respectivamente. 2 – UNIÃO : p U q que corresponde à DISJUNÇÃO: p ۷ q p q p ۷ q as linhas (1), (2), (3) e (4) da tabela correspondem às regiões (1), (2), (3) e (4) do diagrama respectivamente. A região hachurada no diagrama corresponde às linhas da tabela onde a fórmula p Ú q assume valor V. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 3

Diagramas de Euler-Venn 2/3 3 – INTERSECÇÃO : p ∩ q que corresponde à CONJUNÇÃO: p ۸ q p q p ۸q A região hachurada do diagrama corresponde à linha (1) da tabela-verdade, onde a fórmula p ∩ q assume valor V. p q r A figura abaixo forma um Diagrama de Venn apropriado para três conjuntos. Temos 8 regiões que correspondem, respectivamente, às 8 linhas da tabela-verdade ao lado do diagrama: Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 4

Diagramas de Euler-Venn 3/3 Exemplo: Obter o diagrama de Venn corresponde à fórmula ~((p ۸ q)  r). Sol: Após construir o diagrama, a expressão (p ∩ q) ∩ r’ determina a área equivalente. p q r ~ ((p ۸ q)  r) O único valor V da fórmula (Linha 2) corresponde à região 2 do diagrama de Venn (região hachurada). Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 5