Ensino Superior Cálculo 1 7- Regra de L’Hôpital Amintas Paiva Afonso

Cálculo 1 - Derivadas Regra de L’Hôpital Indeterminação da forma Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I em torno de um ponto a, exceto possivelmente no ponto a. Suponha que g(x)  0 para x  a I, x  a: Se e então:

Cálculo 1 - Derivadas Regra de L’Hôpital Utilizaremos a regra de L’Hôpital quando tivermos uma função da forma e ela apresentar indeterminação. Exemplo Calcule Temos uma indeterminação da forma: . Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:

Cálculo 1 - Derivadas Regra de L’Hôpital Indeterminação da forma A regra de L’Hôpital também vale para este caso. Exemplo Calcule A indeterminação é da forma , aplicando a regra de L’Hôpital para este caso, temos:

Cálculo 1 - Derivadas Regra de L’Hôpital Indeterminação da forma Quando temos que calcular um limite da forma f(x)g(x) quando x tende a “a”, ou a +, ou a - , e ocorre uma indeterminação da forma , isto é, lim f(x) = 1 e lim g(x) = , devemos primeiro calcular o logaritmo natural de ambos os membros da igualdade y = f(x)g(x). Assim:

Cálculo 1 - Derivadas Temos então que: e: e, portanto, ocorre agora uma indeterminação da forma . Aplica-se então a regra de L’Hôpital, obtendo lim lny = L. Como ln (lim y) = lim (ln y) = L, temos que lim y = eL.

Cálculo 1 - Derivadas Exemplo Calcule Temos que: e e

Cálculo 1 - Derivadas Logo, a indeterminação é da forma: . Se calcularmos o logaritmo natural da função teremos: Cujo limite resulta na indeterminação da forma . Aplicando a regra de L’Hospital, temos: Como ln é uma função contínua, portanto,

Cálculo 1 - Derivadas Regra de L’Hôpital Indeterminação da forma Transformamos esta indeterminação em uma do tipo ou: Exemplo Calcule Aplicando reiteradamente a regra de L’Hôpital, temos: , portanto,

Cálculo 1 - Derivadas Regra de L’Hôpital Indeterminação da forma A idéia é transformar a indeterminação na forma ou . Exemplo Calcule Por L’Hôpital,

Guillaume de L’Hôpital Cálculo 1 - Derivadas Guillaume de L’Hôpital

DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE = 0 dk = 0 (k)´= 0 d(ku) = 0 (ku)´= 0 d(u+v) = du+dv (u+v)´= u´+ v´ d(u.v) = vdu + udv (uv)´= u´v+v´u d(u/v) = (vdu –udv)/v2 (u/v)´= (u’v – v’u)/v2 d(un) = n.un-1.du (un)´= n.un-1.u´ d(eu) = eu.du (eu)´= eu.u´ (u + v) = + +

DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE d(au) = au.lna.du (au)’ = au.lna.u’ d(senu) = cosu.du (senu)’ = cosu.u’ d(cosu) = - senu.du (cosu)’ = -senu.u’ d(lnu) = (1/u).du (lnu)´= (1/u).u’ d(arctgu) = du/(1+u2) (arctgu)’ = u’/(1+u2)