TEORIA DOS NÚMEROS Aula 3 – Divisibilidade e Algoritmo da Divisão Prof. Mário Alves

Conteúdo Programático desta aula Relação de divisibilidade nos números inteiros; Conjunto dos divisores de um número inteiro; Divisores comuns de dois números inteiros; e Teorema do algoritmo da divisão e aplicações.

RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE EM Z Definição: Sejam a e b dois inteiros, com a 0. Dizemos que a divide b se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = aq. Dizemos também que, se a divide b, então a é um divisor de b, que b é um múltiplo de a, que a é um fator de b e que b é divisível por a. A relação “a divide b”(a|b)” denomina-se relação de divisibilidade em Z.

RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE EM Z Teorema: Quaisquer que sejam os inteiros a, b e c, vale: a|0, 1|a e a|a Se a|1, então a=1 ou a=-1 Se a|b e c|d, então ac|bd Se a|b e se b|c, então a|c Se a|b e se b|a, então a=b ou a=-b Se a|b, com b 0, então |a| |b| Se a|b e se a|c, então a|(bx+cy),

CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM INTEIRO - O conjunto de todos os divisores de um inteiro qualquer a é dado por D(a), ou seja: D(a) = { x Z* | z|a } , Onde Z* indica o conjunto dos inteiros não nulos. D(0) = { x Z*| x|0 } = Z* D(1) = { x Z*| x|1 } = {-1,1} D(-8) = { x Z* | x|-8 } = {-1,-2,-4,-8,1,2,4,8} Exercício 3.1: Determinar os divisores inteiros de 15.

DIVISORES COMUNS DE DOIS INTEIROS Definição: Denomina-se divisor comum de dois inteiros a e b todo inteiro d 0, tal que d|a e d|b. É o mesmo que dizer que é: divisor comum de dois inteiros a e b é todo inteiro d 0 que pertence simultaneamente aos conjuntos D(a) e D(b). D(a,b) = {x Z* | x|a e x|b}, isto é: D(a,b) = {x Z* | x D(a) e x D(b)} e portanto: D(a,b) = D(a) D(b)

DIVISORES COMUNS DE DOIS INTEIROS Exercício 3.2: Determine os divisores comuns de 12 e 15.

ALGORITMO DA DIVISÃO Teorema: Se a e b são dois inteiros, com b > 0, então existem e são únicos os inteiros q e r que satisfazem às condições: a = bq + r e Corolário: Se a e b são dois inteiros, com b 0, existem e são únicos os inteiros q e r que satisfazem as condições: a = bq + r e

ALGORITMO DA DIVISÃO Exercício 3.3: Achar o quociente q e o resto r na divisão de 59 por -14 que satisfazem às condições do algoritmo da divisão. Fazendo a divisão usual dos valores absolutos de a e b: 59 = 14.4 + 3 ii) Isto implica: 59 = (-14)(-4) + 3 e iii) Logo, o quociente é q=-4 e o resto é r=3.

ALGORITMO DA DIVISÃO Exercício 3.4: Achar o quociente q e o resto r na divisão de -79 por 11 que satisfazem às condições do algoritmo da divisão.