INTRODUÇÃO A DEMANDA DE MERCADO FUNÇÕES CONSTANTES, LINEARES E QUADRÁTICAS

FUNÇÃO CONSTANTE y = k ou f(x) = k Seja k um número real qualquer. A função f definida em R e tal que y = f(x) = k, recebe o nome de função constante, portanto, o valor de y não varia com o aumento de x. A representação gráfica de uma função constante é sempre uma reta paralela ou coincidente com o eixo x (abscissas), passando pelo ponto (0 , y).

FUNÇÃO CONSTANTE Na prática, lidamos com muitas funções constantes. Mesmo sem saber nomeá-las, você já resolve situações relacionadas a elas. Por exemplo, um restaurante com sistema rodízio cobra R$ 20,00 por pessoa, não importando se ela consome 0,2 kg, 0,5 kg, 2 kg, ... Assim, o preço único pago é sempre de R$ 20,00.

FUNÇÃO CONSTANTE p = 20,00 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: (kg) – consumo x (p) – preço y p 20 kg 0 0,1 0,2 0,3 ... 0,9 1... 2 Logo, se relacionarmos o consumo x de cada pessoa ao valor pago, obteremos uma função f constante: f(x) = k p = 20,00

FUNÇÃO CONSTANTE Exemplo 1: y = - 3 y = - 3 Representação gráfica y x -3 ● y = - 3

Representação Gráfica FUNÇÃO CONSTANTE Representação Gráfica y EXEMPLO 2: y = 1, se 0 ≤x ≤ 2 5, se 2 ≤ x ≤ 5 y = 5 5 y = 1 1 2 5 x

FUNÇÃO LINEAR y = A.x ou f(x) = A.x É a função f dada por y = A.x, com x Є R e A um número real qualquer não nulo (zero) A representação gráfica de uma função linear é uma reta que contém a origem ( 0 , 0 ) do sistema de eixos (plano cartesiano x,y), ou seja, a reta dessa função sempre irá passar pela origem do plano cartesiano (x,y). Sendo assim, necessitamos, portanto, de apenas mais um ponto para construir a reta.

FUNÇÃO LINEAR x y = 4.x 0 4.0 = 0 1 4.1 = 4 Representação no Gráfico EXEMPLO: y = 4.x y y = 4 . x x y = 4.x 0 4.0 = 0 1 4.1 = 4 4 x 1

FUNÇÃO LINEAR AFIM y = A.x + B ou f(x) = A.x + B É a função f dada por y = A.x + B, com x Є R e A e B números reais não nulos (zero). A representação gráfica da função linear afim é uma reta pelo ponto (x=0, y=B), ou seja, o valor do número real B, sempre será um ponto, que deverá ser marcado em cima da reta do y. Sendo assim, necessitamos de mais um ponto para a construção da reta.

Representação no Gráfico FUNÇÃO LINEAR Exemplo: y = 2.x + 1 Na tabela: Representação no Gráfico y y = 2.x + 1 x y = 2.x + 1 y 0 2.0 + 1 1 2 2.2 + 1 5 5 1 0 2 x

CONSTRUÇÕES DE MODELOS LINEARES APLICAÇÕES Exemplo 1: Um comerciante compra 100 unidades de um produto por R$ 20,00 a unidade. Acrescenta 50% ao custo e passa a vender o produto para seus clientes. Construir um modelo linear que descreva: a. A receita do comerciante em função das unidades vendidas do produto; b. O lucro do comerciante em função das unidades vendidas; c. O domínio da variável quantidade, nesse caso.

R = 30.q RESOLUÇÃO EXEMPLO 1: a.) Cálculo do preço de venda: Custo por unidade: R$ 20,00 Acréscimo: 50% x R$ 20,00 = R$ 10,00 Preço de venda: R$ 20,00 + R$ 10,00 = R$ 30,00 A receita por unidade vendida é R$ 30,00 e, portanto, para q unidades devemos ter: R = 30.q

L = 10.q. CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO EXEMPLO 1: b.) O lucro por unidade vendida corresponde ao acréscimo de 20%, ou seja, R$ 10,00. O lucro para q unidades vendidas será, portanto: L = 10.q.

CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO EXEMPLO 1: c.) A quantidade pode variar de 0 a 100 unidades ou 0 ≤ Q ≤ 100, pois é a disponibilidade do comerciante para venda do produto.

APRESENTAÇÃO NO GRÁFICO DO EXEMPLO 1: R = 30. q , onde 0  q  100 Substituindo o valor de q, de 0 até 100 temos: q R = 30. q R 0 30. 0 0 30. 1 30 30. 2 60   100 30. 100 3000 R R = 30.q 3000 1000 0  q 100 L = 10.q

CONSTRUÇÕES DE MODELOS LINEARES Exemplo 2: Uma máquina de bordar tem 12 cabeças, isto é, é capaz de bordar um desenho em 12 camisetas ao mesmo tempo. A máquina é comandada por um computador. O operador demora 30 minutos para inicializar a máquina (ligar a máquina, ligar o computador, carregar o programa etc.). A cada 10 minutos a máquina completa uma operação com os 12 desenhos. a. Descrever a produção de peças desenhadas pela máquina a partir das 8 horas da manhã, até as 12 horas, em função do tempo. b. Qual o domínio da variável tempo? c. Qual é a quantidade de bordados produzidos até as 11 horas?

RESOLUÇÃO EXEMPLO 2: a.) Começando a contar o tempo, a partir das 8 horas, a cada 10 minutos a máquina produz 12 bordados. Para t minutos após as 8 horas temos: 30’ tempo de preparação da máquina t – 30’ tempo de operação da máquina t – 30’ número de operações da máquina 10 t – 30’ . 12 número de bordados produzidos no tempo t Chamando q a quantidade de bordados produzidos num tempo t teremos: q = t – 30’ . 12 ou q = 12.t – 360 ou q = 1,2.t – 36 10 10

CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO EXEMPLO 2: b.) Como a produção começa às 8 horas e 30 minutos, quando t = 30 min, e vai até as 12 horas, quando t = 240 min, então o intervalo que faz sentido para o cálculo da quantidade produzida, isto é, 30 ≤ t ≤ 240.

CONTINUAÇÃO RESOLUÇÃO EXEMPLO 2: c.) Das 8 horas às 11 horas temos 3 horas ou 180 minutos. Substituindo esse valor na equação de produção, obtém-se: q = 1,2.t – 36 Substituindo t por 180 minutos: q = 1,2.(180) – 36 q = 180 bordados Obs.: Realmente, o tempo de operação da máquina é de 2 horas e 30 minutos ou 150 minutos. O número de operações da máquina é: 150 = 15. 10 Portanto, o número de bordados executados nessas 15 operações é: 15 x 12 = 180.

APRESENTAÇÃO NO GRÁFICO DO EXEMPLO 2: Descrever a produção de peças desenhadas pela máquina a partir das 8 horas da manhã, até as 12 horas, em função (t ) do tempo e (q) para o bordado. q Tabela: fórmula [ q = 1,2. t – 36 ] t h min q = 1,2. t – 36 q 8- 9 1 60 1,2 . 60 – 36 36 8-10 2 120 1,2 . 120 – 36 108 8-11 3 180 1,2 . 180 – 36 180 8-12 4 240 1,2 . 240 – 36 252 252 180 108 36 1 2 3 4 t

RESUMO O nome de função linear é dado a toda função cuja representação gráfica seja uma reta. Exemplo: 1) y =4, 0  x  3 2) y = 2x, 1  x  5 3) y = -4x+12, 0  x  3 y y y 4 10 12 2 3 x 1 5 x 3 x Função Constante no Função Linear no Função Linear Afim no Intervalo [ 0, 3 ] Intervalo [ 1, 5 ] Intervalo [ 0, 3 ]

y = A.x2 + B.x + C ou f(x) = A.x2 + B.x + C FUNÇÃO QUADRÁTICA y = A.x2 + B.x + C ou f(x) = A.x2 + B.x + C  É a função f definida por y = A.x2 + B.x + C, com x Є R e onde A, B e C são números reais quaisquer, com A ≠ 0. O gráfico da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima, caso A seja positivo, e concavidade voltada para baixo, caso A seja negativo. Exemplos: y = 3.x2 + 14.x + 5  A > 0, concavidade para cima y = –2.x2 + 18  A < 0, concavidade para baixo

FUNÇÃO QUADRÁTICA Antenas Parabólicas Parábola não é apenas o gráfico de uma função do 2º grau. A forma de, parábola aparece também em antenas, que podem ser vistas em muitas casas, prédios e sítios. A forma parabólica dessas antenas permite captar sinais fracos e dispersos, concentrando-os em um único ponto, para que sejam amplificados. Hoje, graças às antenas parabólicas e aos satélites de comunicação, pode-se estar conectado não só a todo nosso território como a qualquer ponto do planeta, recebendo todo tipo de informação, seja noticiosa, científica, cultural ou esportiva, nos mais diversos idiomas. Parabólica

Construção da Parábola: FUNÇÃO QUADRÁTICA Construção da Parábola: A parábola fica bem caracterizada quando conhecemos seu cruzamento com os eixos x e y, e seu vértice. O vértice da parábola posiciona seu eixo de simetria vertical. Os pontos principais são: a. Cruzamento com o eixo Ox São as raízes (soluções x1 e x2) da equação do 2º grau A.x2 + B.x + C = 0 b. Cruzamento com o eixo Oy É o ponto correspondente a x = 0, onde y = C. c. Vértice, corresponde ao ponto (Xv ; Yv), que possui a seguinte fórmula para cálculo Pv ( - B ; - Δ ). 2.A 4.A

FUNÇÃO QUADRÁTICA PONTO VÉRTICE  Pv ( Xv ; Yv ) GRÁFICO Xv = – B ; Yv = – ∆ 2.A 4.A Vértice Ponto C X2 X1 y x Eixo de Simetria GRÁFICO

FUNÇÃO QUADRÁTICA y = x2 – 4.x + 3 Então: A = 1, B = – 4 e C = 3 EXEMPLO 1: y = x2 – 4.x + 3 Então: A = 1, B = – 4 e C = 3 ∆ = B2 – 4.A.C ∆ = (- 4)2 – 4.1.3 ∆ = 16 – 12 = 4 x’= -(-4) + 2 = X1 = 3 x = - B ±√ ∆ 2.1 2. A x”= -(-4) – 2 = X2 = 1 2.1 A parábola cruza o eixo x nos pontos ( 3 , 0 ) e ( 1 , 0 ). Cruzamento com o eixo y é o ponto (0, C), ou seja: A parábola cruza o eixo y no ponto (0 , 3)

A > 0, concavidade para cima FUNÇÃO QUADRÁTICA Graficamente temos: Vértice da Parábola: Fórmula: V= ( - B , - ∆ ) 2.A 4.A V= -(-4) , - (4) 2.1 4.1 V = ( 2, -1) – 1 Ponto C 3 1 y x Eixo de Simetria 6 2 Ponto Vértice X2 X1 A = + 1, portanto: A > 0, concavidade para cima

FUNÇÃO QUADRÁTICA y = – x2 + 10.x – 16 ∆ = B2 – 4.A.C EXEMPLO 2: y = – x2 + 10.x – 16 ∆ = B2 – 4.A.C ∆ = (+ 10)2 – 4. –1. –16 ∆ = 100 – 64 = 36 X1 = - 10 + 6 = X1 = 2 x = - B ±√ ∆ = 2.(-1) 2.A X2 = - 10 – 6 = X2 = 8 2.(-1) Então: A = -1, B = 10 e C = -16 A parábola cruza o eixo x nos pontos ( 2 , 0 ) e ( 8 , 0 ). Cruzamento com o eixo y é o ponto (0, C), ou seja: A parábola cruza o eixo y no ponto (0 , -16)

A < 0, concavidade para baixo FUNÇÃO QUADRÁTICA Graficamente temos: Vértice da Parábola: Fórmula: V= ( - B , - ∆ ) 2.A 4.A V= -(10) , - (36) 2.-1 4.-1 V = ( 5, 9) – 16 Ponto C 8 2 y Eixo de Simetria 9 5 Ponto Vértice X1 X2 A = - 1, portanto: A < 0, concavidade para baixo

APLICAÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA EXEMPLO: Sabendo que o modelo funcional que descreve a receita (R) pela venda de uma quantidade q de um bem é dada pela equação R = 10.q – 2.q² e que o modelo que descreve o custo total do bem em função da quantidade produzida é C = 2.q + 2,5 , determinar: Um modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do produto, em função da quantidade produzida e comercializada. b. A quantidade vendida que torna o lucro máximo, e o correspondente valor do lucro. Construa também o gráfico do Lucro “L” em função da quantidade “q”.

Lucro é igual a Receita total menos o Custo total ou RESOLUÇÃO DO EXEMPLO a.) Neste caso, precisamos substituir as equações acima na seguinte fórmula: Lucro é igual a Receita total menos o Custo total ou Lucro = Receita – Custo : L = R – C L = 10.q – 2.q² – (2.q + 2,5) L = 10.q – 2.q² – 2.q – 2,5 L = – 2.q² + 8.q – 2,5 com q ≥ 0

RESOLUÇÃO DO EXEMPLO b. Após substituirmos os valores no exercício “a” obtivemos uma função do 2º grau como resposta, para resolvermos a parte “b” calcularemos o ponto vértice dessa função. Lembrando que o ponto vértice tem a seguinte fórmula: Xv = – B ; Yv = – ∆ 2.A 4.A Então: A = – 2, B = + 8 e C = – 2,5 ∆ = B2 – 4.A.C  (+ 8)2 – 4. – 2 . – 2,5  64 – 20 = 44 A parábola cruza o eixo x nos pontos ( 0,34... ; 0 ) e ( 3,66... ; 0 ).

RESOLUÇÃO DO EXEMPLO Cruzamento com o eixo y é o ponto (0, C), ou seja: A parábola cruza o eixo y no ponto ( 0 ; - 2,5 ) Vértice da Parábola Xv = – B ; Yv = – ∆ 2.A 4.A Xv = - (+8)  + 2 Yv = - (+44)  + 5,5 2. –2 4. –2 O vértice da parábola tem coordenadas PV = ( 2 ; 5,5 ).

RESOLUÇÃO DO EXEMPLO Lucro Máximo de 5, 5 quando a quantidade é 2 O gráfico da função quadrática L = – 2.q² + 8.q – 2,5 com q ≥ 0 0,34... Ponto C (0 , -2,5) 3,66... L q Lucro Máximo de 5, 5 quando a quantidade é 2 5,5 -2,5 2 X1 (0,34 , 0) X2 (3,66 , 0) O valor do Lucro Máximo é de 5,5 quando a quantidade vendida for igual a 2.

“SANANDO DÚVIDAS”, desta Unidade. BIBLIOGRAFIA MORETTIN, L.G., Estatística Básica, 7ª Edição, São Paulo, PEARSON, 2000. NEUFELD, J.L., Estatística Aplicada a Administração Usando o Excel, São Paulo, PEARSON, 2003. SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 4ª Edição, São Paulo, PEARSON, 2007. SPIEGEL, M.R., Estatística, 3ª Edição, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, 1994. SPIEGEL, M.R., Probabilidade e Estatística, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, 1977. Complementar: GIOVANNI, J.R., Matemática Fundamental: 2º Grau – Volume Único. São Paulo: FTD, 1994. SILVA, Ermes Medeiros, Estatística para os Cursos de: Economia, Administração e Ciências Contábeis, 3ª ed., São Paulo: Atlas, 1999. OBS: Caso tenha dúvidas, quanto ao conteúdo e/ou exemplos resolvidos, coloque-as diretamente no item “SANANDO DÚVIDAS”, desta Unidade.

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