Exponencial e Logaritmos

Apresentação em tema: "Exponencial e Logaritmos"— Transcrição da apresentação:

1 Exponencial e Logaritmos
MODELOS EXPONENCIAIS Fenômenos que ocorrem frequentemente na natureza e em situações do cotidiano, tais como: Decomposição de materiais radioativos (Estimativa de idade fóssil); Resfriamento de corpos (Polícia científica); Crescimento populacional (de bactérias, entre outras); Rendimento de aplicações financeiras; Pressão atmosférica em relação ao nível do mar; Concentração de um medicamento no organismo; etc. podem ser MODELADOS MATEMATICAMENTE com a utilização de um tipo de função chamada (ou classificada) como FUNÇÃO EXPONENCIAL. Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

2 Exponencial e Logaritmos
MODELOS EXPONENCIAIS O estudo da bactéria Escherichia coli, comumente encontrada no intestino humano, é um bom exemplo para entender o crescimento exponencial. Sob condições ideais, uma célula de Escherichia coli divide-se em duas células a cada vinte minutos, aproximadamente. APÓS 20 MINUTOS... APÓS 40 MINUTOS... Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

3 COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ???
Exponencial e Logaritmos MODELOS EXPONENCIAIS Observe o que está acontecendo nessa situação: TEMPO QUANTIDADE (em minutos) DE BACTÉRIAS 1 Instante da contaminação 20 2 ou 1 x 2 ou 21 40 4 ou 2 x 2 ou 22 60 8 ou 4 x 2 ou 23 80 16 ou 8 x 2 ou 24 COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ??? Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

4 COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ???
Exponencial e Logaritmos MODELOS EXPONENCIAIS Esse modelo matemático deve ser capaz de prever a quantidade de bactérias que existirá no organismo após um determinado tempo. Ou seja, esse modelo terá que responder as seguintes perguntas: 1) Quantas bactérias existirão após 5 horas, isto é, 300 minutos? 2) Quantas bactérias existirão após t minutos? 3) Quanto tempo demora para que se ultrapasse bactérias? 4) Quanto tempo demora para que se ultrapasse N bactérias? COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ??? Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

5 COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ???
Exponencial e Logaritmos MODELOS EXPONENCIAIS Uma possibilidade seria: TEMPO QUANTIDADE (em minutos) DE BACTÉRIAS 1 20 2 ou 1 x 2 ou 21 40 4 ou 2 x 2 ou 22 60 8 ou 4 x 2 ou 23 80 16 ou 8 x 2 ou 24 COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ??? Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

6 COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ???
Exponencial e Logaritmos MODELOS EXPONENCIAIS OBSERVE QUE, nesse modelo, t = 1 = 20 minutos t = 2 = 2 x 20 minutos; etc Uma possibilidade seria: TEMPO QUANTIDADE DE BACTÉRIAS (t) 1 1 2 ou 1 x 2 ou 21 2 4 ou 2 x 2 ou 22 3 8 ou 4 x 2 ou 23 4 16 ou 8 x 2 ou 24 COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ??? Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

7 COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ???
Exponencial e Logaritmos MODELOS EXPONENCIAIS Desta forma, chamando de N a quantidade de bactérias e t o número de períodos de 20 minutos, então o modelo matemático pode ser expresso por: Voltando às perguntas... 1) Quantas bactérias existirão após 5 horas, isto é, 300 minutos? Como 300/20 = 15, Então t = 15. COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ??? Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

8 A resposta é o próprio modelo matemático.
Exponencial e Logaritmos MODELOS EXPONENCIAIS 2) Quantas bactérias existirão após t minutos? A resposta é o próprio modelo matemático. 3) Quanto tempo demora para que se ultrapasse bactérias? Observando a tabela, temos: Quando N>10000, então t=14 e o tempo é 20x14 = 280. 4) Quanto tempo demora para que se ultrapasse N bactérias? Estudaremos EQUAÇÕES e INEQUAÇÕES exponenciais para responder questões como esta !! Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

9 Exponencial e Logaritmos
MODELOS EXPONENCIAIS PROBLEMAS 1) Crie um modelo para estimar a população de uma bactéria que se divide a cada 15 minutos. Depois, responda as mesmas questões do primeiro modelo estudado. 2) Crie um modelo para estimar a população de uma bactéria que se divide a cada 30 minutos e que, em um exame feito em uma pessoa contaminada, estimou-se que já haviam bactérias. Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

10 OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS
Exponencial e Logaritmos OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS JUROS COMPOSTOS (Poupança) Situação: Você aplicou R$ 1.000,00 em uma poupança e deseja saber quanto terá daqui a x meses. Considerando que a poupança rende, em média, 0,65% ao mês, o modelo que nos fornece o Montante aplicado (M) em função do tempo x (em meses) é: Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

11 TAXA DE JUROS NA FORMA DECIMAL VALOR APLICADO INICIALMENTE
Exponencial e Logaritmos OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS JUROS COMPOSTOS (Poupança) OBSERVE QUE... TAXA DE JUROS NA FORMA DECIMAL VALOR APLICADO INICIALMENTE Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

12 OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS
Exponencial e Logaritmos OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS JUROS COMPOSTOS (Poupança) GRÁFICO Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

13 OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS
Exponencial e Logaritmos OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS JUROS COMPOSTOS (Empréstimo Bancário) Situação: Você tomou emprestado R$ 1.000,00 de um banco e deseja saber quanto estará devendo daqui a x meses. Considerando que, para esse empréstimo, o banco estipulou um juros de 2% ao mês, o modelo que nos fornece o Montante devido (M) em função do tempo x (em meses) é: Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

14 OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS
Exponencial e Logaritmos OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS JUROS COMPOSTOS (Poupança) GRÁFICO Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira

15 MODELOS EXPONENCIAIS PROBLEMAS
Exponencial e Logaritmos MODELOS EXPONENCIAIS PROBLEMAS 1) Na situação da Poupança... Determine o Montante após 6 meses de aplicação. 2) Na situação do Empréstimo... Determine o Montante após 6 meses de aplicação. 3) A fórmula que nos fornece a pressão atmosférica em determinado local é uma função exponencial dada por: onde P é a pressão do ar em atmosferas e h é a altura em quilômetros. Crie uma tabela e um gráfico desta função exponencial. Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira