7. Técnicas de Projeto de Filtros

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1 7. Técnicas de Projeto de Filtros
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Introdução: Filtro seletor de frequências: Importante classe de sistemas LTI Sistema realizável: Estável e Causal (não necessariamente) Requer complexidade computacional limitada - Realização de filtros contínuos por meio de sistemas digitais:

2 Classificação dos filtros digitais:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Classificação dos filtros digitais: Quanto à resposta em frequência: PB PA PF RF Quanto a duração da Resposta ao Impulso: IIR FIR Quanto à forma de realização: Recursiva Não-Recursiva DFT

3 Especificações de um filtro seletor:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Especificações de um filtro seletor:

4 7.1. Projeto de filtros discretos a partir de filtros contínuos
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 7.1. Projeto de filtros discretos a partir de filtros contínuos Projetos de filtros contínuos estão bem consolidados Possuem formulação matemática fechada (não-iterativo) As técnicas usadas em projetos de filtros contínuos não podem ser diretamente aplicadas p/ filtros discretos. Gabarito: A[dB] Amax Amin p s [rad/s]

5 7.1.1. Invariância ao Impulso
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Invariância ao Impulso A resposta ao impulso caracteriza completamente um sistema LTI. Objetivo: Obter um sistema amostrado cuja reposta ao impulso seja uma amostragem da resposta ao impulso de um sistema contínuo que satisfaz as especificações. Procedimento: Gabarito  H(s)  h(t)  C/D  h[n]  H(z) -Butterworth -Chebyshev Inverso -Chebyshev -Cauer (eliptico) -Bessel - Gauss -Legendre

6 Ex.: Amostragem: Observe que: C/D 
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Ex.: Amostragem: Observe que: C/D 

7 Comparando com a transformada Z
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Comparando com a transformada Z Concluímos que esta aproximação corresponde à relação:

8 Análise do mapeamento:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Análise do mapeamento: 1) Suponha: Número real 2) Suponha: Número imaginário puro Circunferência unitária, porém: Há réplica do mapeamento! Mapeamento não unívoco P/

9 Logo: Ocorre efeito Aliasing!
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Logo: Ocorre efeito Aliasing!

10 Mapeamento bom p/ filtros com zeros no infinito (PB,PF)
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Conclusão: Mapeamento bom p/ filtros com zeros no infinito (PB,PF) Onde o efeito aliasing é reduzido.

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13 Invariância ao Degrau Filosofia a mesma da resposta ao impulso
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Invariância ao Degrau Filosofia a mesma da resposta ao impulso Dado H(s) projetado: H(s) C/D  Se G(z) é a resposta ao degrau do sistema discreto: Logo:

14 Vantagem: Como a função é amostrada
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Vantagem: Como a função é amostrada O efeito do recobrimento é reduzido! PB. Generalização: Invariância à rampa Invariância à parábola Invariância de ordem n

15 Transformação Z - Casada
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Transformação Z - Casada Consiste no mapeamento direto dos pólos e zeros do plano ‘s’ para pólos e zeros no plano ‘z’ usando a relação: Ex.: Pólos:

16 7.1.2. Mapeamentos s  z Características desejáveis:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Mapeamentos s  z Características desejáveis: H(s) racional  H(z) racional S=j mapeado em z=ejt SPLE  dentro do círculo unitário H(s) estável  H(z) estável

17 Métodos baseados na aproximação da integração numérica:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Métodos baseados na aproximação da integração numérica: ou

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Forward Euler

19 Obs.: Melhor a aproximação da integral quanto
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Como : Temos: Obs.: Melhor a aproximação da integral quanto menor for T, isto é, maior for fs

20 1) H(s) racional gera H(z) racional : OK
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Teste das condições: 1) H(s) racional gera H(z) racional : OK 2) Válido apenas p/ T<<1 3) H(s) estável gera H(z) estável: Falso!

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Backward Euler

22 Obs.: Melhor a aproximação da integral quanto
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Como : Temos: Obs.: Melhor a aproximação da integral quanto menor for T, isto é, maior for fs

23 1) H(s) racional gera H(z) racional : OK
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Teste das condições: 1) H(s) racional gera H(z) racional : OK 2) Válido apenas p/ T<<1 3) H(s) estável gera H(z) estável: OK! Circunferência de raio 1/2

24 Transformação Bilinear
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Transformação Bilinear Método dos trapézios

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Como : Temos:

26 1) H(s) racional gera H(z) racional : OK
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Teste das condições: 1) H(s) racional gera H(z) racional : OK 2) 3) H(s) estável gera H(z) estável: OK!

27 Porém: p/ s=j z varia sobre a circunferência
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Porém: p/ s=j z varia sobre a circunferência Lembrando Euler: Temos: Logo: Distorção das frequências!

28 Ex.: Desejo realizar o filtro:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Ex.: Desejo realizar o filtro: Com: Através da transformação Bilinear Sei que há distorção (warping), logo devo projetar o filtro analógico previamente distorcido (pre-warping) de modo a compensar a distorção da Bilinear e o resultado ser o desejado.

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No exemplo: ao invés de projetar o filtro analógico p/ 10k e 30k devo projetá-lo p/: Pre-warping

30 Aproximações usadas p/ projeto de Filtros Analógicos: Butterworth
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Aproximações usadas p/ projeto de Filtros Analógicos: Butterworth Chebyshev Chebyshev Inverso Cauer Bessel Gauss Legendre Multiplicidade n ....

31 7.2. Projetos de Filtros FIR
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 7.2. Projetos de Filtros FIR São sempre estáveis: Pólos em z=0 posições dos zeros que definem suas características Podem ter resposta de fase perfeitamente linear Pode-se sintetizar filtros com especificações de amplitude arbitrários (não apenas filtros seletores) P/ mesma especificação (gabarito), a ordem do FIR é, em geral, mais elevada do que um IIR (5 a 10 vezes) - aumento da complexidade computacional - Filtros FIR não tem equivalente analógico (contínuo)

32 Janelamento: “Amostragem no tempo”
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Métodos de Síntese Janelamento: “Amostragem no tempo” Cálculo dos M coeficientes da sua resposta ao Impulso b) “Amostragem em Frequência” Amostra N pontos da sua resposta em frequência e faz-se a IDFT p/ encontrar sua resposta ao impulso c) Métodos de otimização numérica

33 Síntese por Janelamento
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Síntese por Janelamento Objetivo: Gerar H(z) Sabemos que p/ sistemas FIR: Logo: necessito conhecer h[n] Lembrando: Filtro Ideal -duração infinita -não-causal

34 O método tem como princípio tornar h[n] finita de
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR O método tem como princípio tornar h[n] finita de Comprimento M e causal, de modo que Truncamento através da utilização de uma janela No domínio frequência: Convolução Periódica No limite: Logo: Quanto > o M melhor será a aproximação

35 Metodologia: Resposta em Freq. Ideal
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Metodologia: Resposta em Freq. Ideal

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Escolha da Janela:

37 Características de W() que influem em
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Características de W() que influem em Largura do Lóbulo Principal: Influencia no tamanho da banda de transição Quanto <a largura do Lóbulo Principal < a banda de transição Controla-se através da escolha de M, tamanho da janela. >M , < Lóbulo principal, < Banda de transição, > complexidade

38 É a relação entre a amplitude do lóbulo principal e o
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR b) Razão de Ripple: É a relação entre a amplitude do lóbulo principal e o 1 lóbulo secundário. Determina a mínima atenuação da banda de rejeição e o ripple da banda de passagem Controla-se através da escolha da janela. M não influencia nesta característica

39 Principais tipos de janelas:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Principais tipos de janelas: Hamming: Retangular: Hanning: Bartlett: Blackman:

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41 -Escolher o tipo de janela que satisfaça a atenuação
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Procedimento: -Dado um gabarito -Escolher o tipo de janela que satisfaça a atenuação Na banda de rejeição Escolher o M p/ satisfazer a banda de transição Método de tentativa e erro.

42 Janela de Kaiser Kaiser em 1966 desenvolveu um procedimento próximo
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Janela de Kaiser Kaiser em 1966 desenvolveu um procedimento próximo Do ótimo p/ projeto de filtros FIR baseado em janelamento - Vantagem: Técnica procedural Onde: Io(x) é a função de Bessel modificada de primeira espécie e ordem zero. Série de convergência rápida

43 Determinados: M,  e , calcula-se w[n] e H(z)=Z{h[n].w[n]}
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Dado o gabarito: Amax Amin p s  Temos: Determinados: M,  e , calcula-se w[n] e H(z)=Z{h[n].w[n]}

44 Outros tipos de de projetos otimizados: Parks-McClellan
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Outros tipos de de projetos otimizados: Parks-McClellan Compensação da Distorção sen(x)/x do conversor D/A

45 FIR ou IIR ? 1) 2) 3) 4) Estabilidade 5) Projeto 6) Complexidade
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR FIR ou IIR ? 1) 2) 3) 4) Estabilidade 5) Projeto 6) Complexidade 7) Estruturas 8) Erros de Quantização 9) Filtros Adaptativos