Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Dep. Engª Mecânica Escola de Engenharia Universidade do Minho Mecânica Geral Capítulo I Análise Cinética.

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Dep. Engª Mecânica Escola de Engenharia Universidade do Minho Mecânica Geral Capítulo I Análise Cinética

2 Mecânica Geral 22 1. Introdução 2. Análise Estática 2.1 Forças 2.2 Momentos 2.3 Forças de reacção 2.4 Diagramas de corpo livre 2.5 Condições de equilíbrio 3. Análise Dinâmica 3.1 Inércia 3.2 Cinética do corpo rígido 3.3 Forças transmitidas 3.4 Determinação de momentos mássicos de inércia Cap.I – Análise Cinética Programa do Módulo

3 Mecânica Geral 33 1. Introdução De uma forma simplificada, analisa o movimento de um determinado mecanismo => cinemática directa ou define a geometria básica de um mecanismo capaz de determinado movimento => cinemática inversa Todavia, numa segunda etapa, torna-se necessário proceder ao projecto específico de cada um dos elementos que compõem o mecanismo, em termos de: - material, - forma, - dimensões, de maneira a garantir a necessária robustez para absorverem, transformarem e transmitirem as forças - energia, trabalho, potência - em jogo. Simultaneamente, sendo essas forças transmitidas através das respectivas juntas, o binómio pressão/velocidade relativa no interface de contacto condiciona todo o comportamento mecânico dessas superfícies e respectiva tribologia - deformação, fadiga, regime de lubrificação, tipo de atrito, taxa de desgaste, etc. Cap.I – Análise Cinética O estudo cinemático de um mecanismo tem como objectivo a definição da geometria do movimento e da relação entre os parâmetros de deslocamento e o tempo - posição, velocidade, aceleração - desprezando as forças que provocam, ou resultam, desse mesmo movimento.

4 Mecânica Geral 44 1. Introdução Os princípios básicos da dinâmica fundamentam-se nas ‘Leis do Movimento’, enunciadas por Newton: Cap.I – Análise Cinética -Um corpo permanece em repouso, ou em movimento uniforme e rectilíneo, na ausência de qualquer força externa que nele actue. -A taxa de alteração da quantidade de movimento de um corpo actuado por uma força, ou conjunto de forças externas, é proporcional e tem a mesma direcção da resultante dessas forças. -Sendo a massa de um corpo invariável, a magnitude da sua aceleração é proporcional à resultante das forças que nele actuam e inversamente proporcional à sua massa. A direcção da aceleração é igual à da resultante das forças. -A uma acção sobre um corpo, realizada por uma força, corresponde sempre uma reacção oposta, de igual intensidade.

5 Mecânica Geral 55 2. Análise Estática Forças Uma força é definida por uma magnitude e uma direcção podendo, portanto, ser encarada e tratada como outro qualquer vector. Adicionalmente, pode ou não ser considerada como um vector livre - isto é, o seu ponto de aplicação pode ser ou não importante - conforme a análise em causa: Tri-dimensionalmente uma força pode ser definida como, F = f x i + f y j + f z k em que (f x, f y, f z ) representam as magnitudes das componentes coordenadas. Cap.I – Análise Cinética

6 Mecânica Geral 66 2. Análise Estática Momentos O momento de um binário corresponde a um vector (M), de direcção normal ao plano do binário e direcção dada pela ‘regra da mão direita’, ou ‘regra do saca-rolhas’. A sua magnitude é dada pelo produto do braço pela intensidade de uma das forças (m=r  f). Em termos vectoriais, o momento é igual ao produto externo dos vectores correspondentes ao braço e à força: M = R x F mas como: R = x i + y j + z k F = f x i + f y j + f z k então: M = R x F =  i j k  = m x i + m y j + m z k  x y z   f x f y f z  Cap.I – Análise Cinética

7 Mecânica Geral 77 2. Análise Estática Momentos Algumas propriedades dos binários podem ser referidas, embora não demonstradas aqui. Cap.I – Análise Cinética Assim: (i) o valor do momento resultante é independente do ponto que se considere para centro do binário de forças; (ii) o braço (R) do binário não tem necessariamente de ser perpendicular às forças em jogo; => neste caso, apenas o momento resultante será afectado, uma vez que será igual ao produto da força pela componente do braço (R N ) normal à direcção das forças (iii) o momento (M) é um vector livre, uma vez que não tem, nem depende, de um ponto de aplicação específico; (iv) as forças de um binário podem ser rodadas em conjunto, no seu plano, desde que se mantenham as respectivas magnitudes e distância entre linhas de acção, ou podem ser ser transladadas para qualquer plano paralelo, sem que isso implique qualquer alteração no momento resultante; => assim, pode afirmar-se que dois binários são idênticos se produzirem iguais momentos, independentemente dos valores das forças ou braços que os constituem.

8 Mecânica Geral 88 Forças de Reacção - Atrito De uma forma geral, por ‘força de reacção’ entende-se qualquer força que se opõe ao movimento. Por outro lado, num corpo em movimento haverá ainda a considerar a força de atrito (F) que se opõe à força actuante (P), em que, fazendo (  =tan  ), virá (F=  N). Cap.I – Análise Cinética 2. Análise Estática Quanto a (  ) e (  ), designados respectivamente por ‘ângulo de atrito’ e ‘coeficiente de atrito’, distinguem-se ainda duas situações, (i) atrito estático: quando o movimento se encontra numa fase insipiente, ou seja, prestes a iniciar-se o escorregamento entre as duas superfícies; (ii) atrito cinemático: quando o movimento se encontra perfeitamente estabelecido; (de uma forma geral, este último tem um valor inferior ao primeiro) No caso de um corpo em repouso a força normal (N) poderá ser interpretada como a reacção do fixe ao peso (W) ou, muito simplesmente, a força que se opõe à queda desse corpo.

9 Mecânica Geral 99 Forças de Reacção - Atrito A geometria do contacto pode, ainda, trazer algumas particulariedades de análise. Obs.: só a partir desta posição se iniciará o escorregamento ‘normal’, de funcionamento, da chumaceira Cap.I – Análise Cinética 2. Análise Estática Deste modo a força normal (N) não terá a mesma linha de acção da carga (W). A composição de (N) com a força de atrito (F=  N) resulta numa força (R) de ponto de aplicação  B  que, essa sim, terá a mesma intensidade de (W) e sentido contrário. O círculo com centro em  A  e tangente à linha de acção de (R) é chamado ‘círculo de fricção’ e o seu raio é dado por: r f = r  sen  = r  cos   r f = [0,  2/2  r], para  = [0, 1] De notar que (r f ) não depende da magnitude das forças envolvidas, mas apenas do raio do moente e do coeficiente de atrito. No caso comum em mecânica de um par rotoide, a rotação do moente aliada à existência de atrito, fá-lo-á ‘subir’, rolando ao longo da periferia do casquilho até atingir uma posição em que se atinge o equilíbrio de forças.

10 Mecânica Geral 10 Por definição, um ‘diagrama de corpo livre’ é um esboço desse corpo, em que se consideram todas as acções a que está sujeito e todas as reacções correspondentes aos corpos que com ele interagem. Neste exemplo simples, para uma viga em repouso simplesmente apoiada em  A  e  C , de peso desprezável e dotada de uma massa de peso (P) aplicada em  B , vem que, (P), (R A ) e (R B ), respectivamente acção da massa e reacções dos apoios, podem ser encaradas como simples acções externas sobre a viga, cuja determinação permite analisar o seu estado de tensão e deformação estáticas, por exemplo. Cap.I – Análise Cinética Diagramas de Corpo Livre 2. Análise Estática

11 Mecânica Geral 11 Condições de Equilíbrio Um corpo encontra-se em equilíbrio estático se e só se forem nulas: (i) a soma vectorial de todas as forças, de acção e de reacção (  F=0); (ii) a soma dos momentos de todas as forças, actuando segundo qualquer eixo (  M=0) Segundo os eixos coordenados, estas condições podem expressar-se como:  F x = 0  M x = 0  F y = 0  M y = 0  F z = 0  M z = 0 que, para problemas bi-dimensionais, se reduzem a:  F x = 0  F y = 0  M z = 0 Cap.I – Análise Cinética 2. Análise Estática Nota: estas condições de equilíbrio são também válidas para situações dinâmicas, isto é, em que o corpo esteja animado de movimento (com determinadas características de deslocamento, velocidade e aceleração, variáveis no tempo) desde que se introduzam as respectivas componentes de força devidas à inércia, ou seja, às variações de velocidade das massas envolvidas.

12 Mecânica Geral 12 Nota Basicamente, a dinâmica estuda as forças decorrentes da aceleração a que estão sujeitos os componentes de um mecanismo ou, na óptica inversa, as forças necessárias para que esses corpos variem o seu estado de movimento. Os esforços resultantes, num dado corpo, serão então iguais à soma das forças dinâmicas e estáticas. Este estudo será, aqui, restringido ao caso bi-dimensional, ou seja, aplicável apenas a mecanismos planos. Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica

13 Mecânica Geral 13 Forças de Inércia - Princípio de D’Alembert Considerando um corpo sujeito a um conjunto de forças quaisquer: Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica a resultante dessas forças será (  F = F 1 + F 2 + F 3 ) cuja linha de acção está a uma certa distância (h) do centro de massa  G . O efeito desta resultante ‘desbalanceada’ será a aceleração do corpo, com uma componente linear e uma componente angular, cujos valores são dados por:  F = m  a G  M G = I m   em que (a G ) representa a aceleração linear do centro de massa, (  ) a aceleração angular do corpo em torno de  G  e (I m ) o momento mássico de inércia do corpo em relação ao centro de massa  G .

14 Mecânica Geral 14 Forças de Inércia - Princípio de D’Alembert O estudo de mecanismos inicia-se, geralmente, pela análise cinemática, sendo o movimento dos vários componentes definido e, portanto, a sua aceleração determinada. Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica Como tal, torna-se conveniente reescrever as equações acima, na forma:  F – m  a G = 0  M G – I m   = 0 que podem ser ‘lidas’ como: (i) a soma de todas as forças externas que actuam num corpo anula-se, quando adicionada a uma força fictícia de valor (- m  a G ), denominada ‘força de inércia’; (ii) a soma dos momentos provocados por todas as forças externas, em relação ao centro de massa, e de todos os momentos externos aplicados a um corpo anula-se, quando adicionada a um binário fictício de valor (- I m  ), denominado ‘binário de inércia’. e que traduzem o chamado ‘princípio de D’Alembert’. Nota: A utilidade desta análise reside no facto de qualquer situação dinâmica poder ser encarada como um problema de equilíbrio e, portanto, passível de ser resolvido pelos métodos empregues na estática. A questão seguinte prende-se, assim, com o cálculo das forças e momentos necessários para conseguir esse movimento.

15 Mecânica Geral 15 Cinética do Corpo Rígido Translacção Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica Adoptando o critério básico de que a resultante de todas as forças passa pelo centro de massa, então a um corpo de massa (m) e aceleração (a x ) corresponderá um diagrama de corpo livre em que se assinalaram todas as forças externas (conhecidas e desconhecidas) actuantes que, por sua vez, poderão ser substituídas pela resultante de valor (m  a) que, passando por  G  e com direcção e sentido de (a x ), imprimirá ao corpo de massa (m) uma aceleração (a x ). Recorrendo ao ‘princípio de D’Alembert’, neste caso:  F x – m  a x   F x – (W/g)  a x = 0  F y =  M G = 0 uma vez que (m=W/g), sendo (g) a aceleração da gravidade.

16 Mecânica Geral 16 Cinética do Corpo Rígido Translacção Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica O equilíbrio dinâmico consegue-se a partir da construção de um sistema de equações, com base nos somatórios de forças segundo (xx) e (yy) e de momentos em torno de (zz), tornando-se então possível a resolução do problema: em que:  F x – m  a x = 0  F y = 0

17 Mecânica Geral 17 Cinética do Corpo Rígido Rotação Centroidal Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica Um dos casos mais comuns de rotação é a que se dá em torno de um eixo fixo, coincidente com o centro de massa do corpo: em que, independentemente do número, intensidade ou direcção das forças externas que actuem no corpo,   F x = 0    F y = 0    M G – I m   = 0  Im  Im   RhRh RvRv W P1P1 P2P2  => - I m   RvRv W P2P2 RhRh

18 Mecânica Geral 18 Cinética do Corpo Rígido Rotação Não-Centroidal Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica Um corpo rodando em torno de um eixo não centroidal sob a acção das forças aplicadas - peso próprio (W) e resultante das forças externas (P) - associada às componentes da reacção no apoio, no ponto A (R h e R v ), originam valores instantâneos de velocidade (  ) e de aceleração angular (  ): pois o centro de massa (G) move-se num círculo de raio (r) com centro em (A), tendo uma aceleração cujos componentes são: a n = r   2  segundo a linha (GA), dirigida para (A) a t = r   perpendicular a (r), no sentido de (  ) P G W RhRh RvRv   A G W/g  r  2 A r W/g  r  I m  

19 Mecânica Geral 19 Cinética do Corpo Rígido Rotação Não-Centroidal Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica Igualando os momentos das forças em presença à soma dos momentos das forças efectivas, em relação ao ponto (A),  M A = I m   + [(W/g)  r  ]  r = (I m + W/g  r 2 )   = [I m ] A   em que ([I m ] A ) é o momento másico de inércia do corpo, em relação ao ponto (A). Assim, as equações do movimento vêm como:   F x – (W/g)  r   2 = 0    F y – (W/g)  r   = 0    M G – I m   = 0    M A – [I m ] A   = 0

20 Mecânica Geral 20 Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica Cinética do Corpo Rígido Rolamento No caso de uma roda homogénea em rolamento, a análise é simplificada pelo facto de o centro de massa ter um movimento rectilíneo, paralelo ao plano de deslocamento. Assim, e considerando (xx) como a direcção paralela ao plano, vem:   F x – W/g  a = 0    F y = 0    M G – I m   = 0 W/g  a G C I m   A resultante das forças efectivas traduz-se numa única força de valor (W/g  a), passando por (G) e paralela ao plano de deslocamento, e no binário (I m  ) aplicado em (G). P1P1 P2P2 W FNFN FaFa G C  a

21 Mecânica Geral 21 Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica Cinética do Corpo Rígido Rolamento - Caso particular: rotação pura A condição de não escorregamento entre o corpo e o plano, é a de haver suficiente resistência tangencial no ponto de contacto (C). Neste caso o ponto (C) manter-se-á instantaneamente em repouso, ou seja, é um ‘Centro Instantâneo de Rotação’. Assim, estabelecendo um somatório de momentos em relação ao ponto (C), virá:  M C = I C  + (W/g  a)  r e sendo, para rolamento puro (a=r  ), e então,  M C = I G  + (W/g  r  )  r = (I G + W/g  r 2 )  P1P1 P2P2 W FNFN FaFa G C  a A resistência é expressa por (F a =F N  ), em que (F N ) é a força exercida na normal ao plano de contacto e (  ) é o coeficiente de atrito. De notar que, no caso de haver escorregamento, a posição do Centro Instantâneo é desconhecida pelo que é falso que (  M C =I C  ). No entanto, os somatórios de forças em (xx) e (yy), bem como o de momentos em (G), apresentados acima, continuam válidos.

22 Mecânica Geral 22 Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica Cinética do Corpo Rígido Rolamento - Caso particular: rotação desbalanceada No caso de o centro geométrico do corpo não coincidir com o seu centro de massa (G), então este não segue uma trajectória rectilínea pelo que os somatórios de forças em (xx) e (yy), tal como expostos atrás, não são válidos. Contudo, a relação (  M C =I C  ) é ainda aplicável nos dois instantes por rotação em que (G) se encontra na linha definida por (C) e (O) pois, nestas posições, a aceleração do Centro Instantâneo é dirigida para o centro de massa. W FNFN FaFa G C  O W G C  O W G C  O

23 Mecânica Geral 23 Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica Cinética do Corpo Rígido Caso Geral do Movimento Plano Para o caso genérico de um corpo animado de um movimento complexo, desde que integrado num qualquer mecanismo, é sempre possível determinar a aceleração de um ponto de referência (a A ) e, a partir deste, a aceleração relativa do centro de massa (a G|A ). Assim, vem que: a G = a A + a G|A = a A + r  2 + r  donde: W/g  a = W/g  a A + W/g  r  2 + W/g  r  P G W r aAaA   A G W/g  r  2 A r W/g  r  I m   aAaA W/g  a A Nesta equação, a parte direita é constituída pelas componentes da força resultante efectiva (W/g  a) que podem ser representadas directamente num diagrama de forças.

24 Mecânica Geral 24 Forças Transmitidas... Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica

25 Mecânica Geral 25 Determinação de Momentos Mássicos de Inércia... Cap.I – Análise Cinética 3. Análise Dinâmica

26 Mecânica Geral 26