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REVISÃO MATEMÁTICA Unidades de medidas: Medidas de comprimento Medidas Angulares.

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1 REVISÃO MATEMÁTICA Unidades de medidas: Medidas de comprimento Medidas Angulares

2 Medidas de comprimento A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia de Ciências de Paris o definiu como unidade padrão de comprimento. Sua dimensão era representada por 1/ de um arco de meridiano da Terra. Em 1983, a Conferência Geral de Pesos e Medidas estabeleceu a definição atual do metro como a distância percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de 1/ s(Veiga et al, 2007, p. 15)

3 Medida Angular Radiano: Um radiano é o ângulo central que subentende um arco de circunferência de comprimento igual ao raio da mesma. É uma unidade suplementar do SI para ângulos planos. 2πR 360º arco = R = raio Unidade Sexagesimal: Grau ° 1° = (/180) rad Minuto 1 = 1°/60 = (/10800) rad Segundo 1 = 1°/3600 = (/648000) rad Unidade Decimal: Grado 1 Grado = 1/400 da circunferencia

4 Exemplos e Exercícios 1)Transformação de ângulos: Transforme os seguintes ângulos em graus, minutos e segundos para graus e frações decimais de grau. a) 32º = 32, º b) 17º 34 18,3 = 17,57175º c) 125º = 125, º 2) Soma e subtração de ângulos: 30° ° 52 = 51º12 28° °39 = 68°20 42°30 – 20°40 = 21°50 FAÇA AS MESMAS CONTAS UTILIZANDO SUA CALCULADORA

5 Cuidados ao utilizar calculadora Ao aplicar-se a função sem a transformação do ângulo pode-se incorrer em erros nos cálculos futuros, como é possível observar no exemplo a seguir: Para o ângulo citado: α = 22º Calculando-se o valor da função seno sem converter o valor do ângulo, obtém-se: sen 22,0904 = 0, Já transformando-o para graus decimais obtém-se: sen 22, º = 0, Considerando uma distância de 300m, entre um vértice de uma poligonal e um ponto de detalhe qualquer, pode-se observar a seguinte diferença no valor de Δx calculado. Δx = 300. sen 22,0904 = , Δx = 112,821m Δx = 300. sen 22, = , Δx = 113,115m Uma diferença de 29,4 cm

6 Trigonometria Plana A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. A partir da figura podem ser estabelecidas as seguintes relações: A partir da figura ao lado, determine os valores de Seno, Cosseno e Tangente dos angulos α e β

7 Relações métricas (Triang. Retangulo) Para um triângulo retângulo ABC pode-se estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos: Onde: b, c: catetos; h: altura relativa à hipotenusa; a: hipotenusa; m, n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

8 As seguintes relações métricas podem ser definidas: a) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa. b² = a. n c² = a. m b) O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa. b. c = a. h c) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. h² = m. n d) O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. a² = b² + c² (Teorema de Pitágoras)

9 Relações métricas (Triang. Qualquer) LEI DOS SENOS Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.

10 LEI DOS COSSENOS Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam. A² = b² + c² – 2.b.c. cos A A fim de medir a largura de um rio em um certo local, adotou-se o seguinte procedimento: Marcou-se um ponto B em uma margem; 30 m à direita marcou-se um ponto C, de tal forma que AB e BC sejam perpendiculares, do ponto C mediu-se um ângulo de 30°, dessa forma conclui-se que a largura do rio (AB) é: A B C 30 m

11 Exercícios 1) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um ângulo de 56° Afastando-se de 20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35° Calcule a largura do rio (CEFET, 1984).

12 Exercício (Continuação) 2) Para determinar a largura de um rio, um topógrafo mediu, a partir de uma base de 20,00m de comprimento os ângulos A e B, conforme figura. Calcule valor de h.


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