Comprimento de Arco e Curvatura, Vetores Normal e Binormal.

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1 Comprimento de Arco e Curvatura, Vetores Normal e Binormal.
Aula 28 Comprimento de Arco e Curvatura, Vetores Normal e Binormal.

2 Comprimento de Arco

3 Comprimento de Arco Suponha que a curva tenha equação vetorial ,ou equivalentemente Se a curva não se intercepta quando cresce, podemos mostrar que

4 Comprimento de Arco

5 Exemplo 1 Determine o comprimento do arco de curva da hélice circular de equação do ponto (1, 0, 0) até o ponto (1, 0, 2)

6 Exemplo 1

7 Reparametrização

8 Função Comprimento de Arco
Seja uma curva lisa por partes dada por , onde pelo menos uma das funções seja injetora em . Definimos a função comprimento de arco por

9 Reparametrização por comprimento de arco

10 Exemplo 2 Repararametrize a hélice circular utilizando a medida de comprimento de arco de (1, 0, 0) na direção de crescimento de .

11 Exercício 13 p. 797 Reparametrize a curva em relação ao comprimento de arco do ponto na direção crescente de .

12 Curvatura É a taxa de variação do versor tangente com relação ao comprimento de arco. onde é o versor tangente.

13 Usando a regra da cadeia

14 Exemplo 3 Mostre que a curvatura do círculo de raio a é igual a 1/a. a

15 Teorema

16 Demonstração

17 Exemplo 4 Determine a curvatura da cúbica retorcida , em um ponto genérico em (0, 0, 0).

18 Obrigado !