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PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA.

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1 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA

2 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Aula 03 Funções polinomiais Logaritmo

3 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Funções Polinomiais Introdução: Polinômio Para a sucessão de termos comcom, um polinômio de grau n possui a seguinte forma : Ex :

4 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Funções Polinomiais Função polinomial de 1° grau: Toda função definida como, tal que com e. O conjunto de pares ordenados formados numa função de primeiro grau organiza-se em forma de uma reta quando representados no plano cartesiano. Ex:

5 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Funções Polinomiais Função polinomial de 1° grau: Se a > 0 então a função é estritamente crescente; Se a < 0 então a função é estritamente decrescente; Se a = 0 então a função é definida como função constante.

6 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Funções Polinomiais Função polinomial do 2° grau: Defini-se como função polinomial de segundo grau, a função,tal que, com a, b e c. Graficamente a função polinomial de segundo grau é representada por uma parábola, na qual o valor de c indica o ponto em que a parábola intercepta o eixo das ordenadas. As raízes ou zeros da função indicam os pontos em que a parábola intercepta o das abscissas.

7 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Funções Polinomiais Função polinomial do 2° grau: Se a> 0, a função decresce de + até o y do vértice e depois cresce até + ao passo que x varia de - até +. Se a<0, a função cresce de - até oy do vértice e depois decresce até - ao passo que x varia de - até +.

8 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Funções Polinomiais Função polinomial do 2° grau:

9 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Funções Polinomiais Função polinomial do 2° grau: Vértice da Parábola: O vértice da parábola é o ponto de coordenadas: Se a > 0, então o vértice é o ponto máximo da mesma, se a < 0, então o vértice da parábola é o ponto de mínimo da mesma. Forma fatorada de um polinômio de grau n:

10 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Funções Polinomiais Forma fatorada de um polinômio: Sendo X, X, X raízes da função. Ou seja, elementos em x que geram imagem nula.

11 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Funções Polinomiais Operações envolvendo polinômios: Adição: p(x) + h(x) = (a+d)x² + (b+e)x + (c+f) Subtração: p(x) - h(x) = (a-d)x² + (b-e)x + (c-f) Multiplicação: p(x). h(x) = (ax² + bx + c)(dx² + ex + f)

12 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Funções Polinomiais Operações envolvendo polinômios: Divisão: Método das chaves Q(x).D(x) + R(x) = P(x)

13 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Logaritmo Definição: b = Antilogaritmo ou logaritmando a = base c = logaritmo Condição de existência:,

14 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Logaritmo Consequências:

15 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Logaritmo Propriedades:

16 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Logaritmo Propriedades: Mudança de Base: Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente.

17 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Logaritmo A função logarítmica:

18 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Logaritmo O Logaritmo Neperiano ou Logaritmo Natural: É o logaritmo cuja base é o n° de Euler e ( aproximadamente 2, ). Ou seja, corresponde à função inversa da função exponencial. É comumente utilizado como ferramenta matemática para modelar fenômenos que ocorrem na natureza. Notação:

19 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios -Polinômios 1)Sabendo-se que 3 é raiz de P(x)= x³ +4x²- ax +1, calcular o valor de a.

20 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios -Polinômios 1)Sabendo-se que -3 é raiz de P(x)= x³ +4x²- ax +1, calcular o valor de a. Resolução: Se -3 é raiz de P(x), então P(-3)=0. P(-3)=0 => (-3)³+4(-3)²-a.(-3)+1 = 0 3a = -10 => a=-10/3 Resposta: a=-10/3

21 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios -Polinômios 2) Calcular m para que o polinômio P(x)=(m²-1)x³ +(m+1)x² -x +4 seja: a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau

22 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios -Polinômios Resposta: a) para o polinômio ser do 3º grau, o coeficiente de x³ deve ser diferente de zero. Então: m²-10 => m² 1 => m 1, m -1 Portanto, o polinômio é do 3º grau se m 1 e m -1. b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x³ deve ser igual a zero e o coeficiente de x² diferente de zero. Então: m²-1=0 => m²=1 => m=1 ou m= -1 m+1 0 => m -1 Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1. c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser iguais a zero. Então: m²-1=0 => m²=1 => m=1 ou m=-1 m+1=0 => m=-1 Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.

23 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios -Polinômios 3)Num polinômio P(x), de 3º grau, o coeficiente de x³ é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).

24 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios -Polinômios 3) Resolução: Temos o polinômio: P(x)=x³+ax²+bx+c. Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes). Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema: P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1 P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8 P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3

25 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios -Polinômios 3) Resolvendo esse sistema encontramos as soluções: a=9, b=-34, c=24 Portanto o polinômio em questão é P(x)= x³+9x²-34x+24. O problema pede P(-1): P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)= P(-1)= 66 Resposta: P(-1)= 66

26 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios -Polinômios 4) O polinômio p(x) = x³ - x² - 14x + 24 é divisivel por : a)x+7 b)X c)x+2 d)x+4 e)x-4

27 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios -Polinômios 4) Como todo polinômio pode ser escrito da forma p(x) = a(x-x)(x-x)(x-x)... Sendo x,x,x..raízes do polinômio e que p(x) = 0 Q(x).D(x) + R(x) = P(x) Basta verificar qual D(x) que gera R(x) = 0 Ou verificar qual o numero a do polinômio D(x) = (x – a), que faz com que P(a) = 0

28 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios -Polinômios 4) Testando os valores vê-se que o polinômio p(x) = x³ - x² - 14x + 24 é divisível por D(x) = x+ 4. Visto que produz R(x) = 0 OU seja, P(-4) = 0 Resposta ) letra D

29 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios -Polinômios 5) Efetue a divisão entre os polinômios:

30 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios -Polinômios 5)

31 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios –logaritmo 1) Determine o valor de log

32 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios –logaritmo 1) log = log 1/4 32 Logo : ¼^x = 2^5 => 2^-2x = 2^5 X = -5/2

33 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios –logaritmo 2) Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais? Dica : M = C(1+i)^t

34 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios –logaritmo 2)

35 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios –logaritmo 3)

36 PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE Exercícios – logaritmo 3) Log x + log ( x-5 ) = log 36 Log ((x)(x-5)) = log 36 Log (x²-5x) = log36 x² - 5x = 36 x= 9 ou x= -4 Porêm x não pode assumir o valor -4 pois o logaritimando deve ser sempre maior que 0. Resposta : D


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