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Matemática para Economia III 2013.2 Aula 13 e 14: Transformações lineares (continuação)/ Autovalores e Autovetores/ Diagonalização de Operadores.

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1 Matemática para Economia III Aula 13 e 14: Transformações lineares (continuação)/ Autovalores e Autovetores/ Diagonalização de Operadores

2 Matriz de uma transformação linear Sejam T: VW uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. Sem perda de generalidade consideremos dim V=2 e dim W=3. Sejam A={v 1,v 2 } e B={w 1,w 2,w 3 }, um vetor v V pode ser expresso como A imagem T(v) W pode ser expressa como Por outro lado aplicando T em (1) obtemos (1) (2) (3) Note que [v] A =(x 1,x 2 ) Note que [T(v)] B =(y 1,y 2,y 3 )

3 Sendo T(v 1 ) e T(v 2 ) W eles são combinações lineares dos vetores de B: Substituindo em (3) temos que (4) (5) Matriz de uma transformação linear

4 Portanto: Ou na forma matricial: Ou simbolicamente: Matriz de uma transformação linear Matriz de T em relação as bases A e B

5 Na prática o que fizemos: 1) Escrevemos os vetores T(v 1 ) e T(v 2 ) como combinação linear do vetores de B 2) Tomamos os escalares de T(v i ) na base B e os colocamos como a coluna i da matriz Matriz de uma transformação linear [v]A[v]A [T(v)] B [T(v 1 )] B [T(v 2 )] B Matriz de T em relação as bases A e B

6 Exemplo: Dada a transformação linear T: IR 2 IR 3 dada por T(x,y)=(x+y,x-y,y), E considere as bases A={(1,1),(-1,0)} e B={(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} para o IR 2 e IR 3 respectivamente. Determine: a) b) Sendo v=(5,1) (coordenadas em relação à base canônica do IR 2 ), calcular [T(v)] B utilizando a matriz encontrada em a) Matriz de uma transformação linear

7 Matriz de Mudança de Base Se considerarmos I: VV a transformação linear identidade, I(v)=v. Ao escrevermos a matriz desta transformação em relação às bases A e B (A uma base de V e B outra base de V). Obteremos [I(v)] B = [v] A Ou ainda: [v] B = [v] A Matriz de mudança de base de A para base B O papel desta matriz é transformar as coordenadas de um vetor v na base A em coordenadas do mesmo vetor v na base B.

8 Autovetores e Autovalores Seja T:VV um operador linear. Um vetor v V, v0, é autovetor do operador T se existe λ IR tal que T(v)= λv. Seja M a matriz desta transformação em relação à base canônica então (6) pode ser rescrito como Mv=λvMv=λv λv-Mv=0 ou ainda λIv-Mv=0 (λI-M)v=0. Determinar se operador T possui um autovetor v0 equivale a determinar para quais valores de λ o sistema homogêneo (7) tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado autovalor de M. Se λ é um autovalor de M então cada solução não trivial de (7) será o autovetor de M associado ao autovalor λ, ou seja será autovetor do operador T. (6) (7)

9 Autovetores e Autovalores De acordo com o que já estudamos M é invertível Mv=0 tem somente solução trivial logo (λI-M)v=0 tem solução não trivial (λI-M) não é invertível, ou seja, det(λI-M)=0 Exemplo: (b) Seja M=[T], encontre os autovalores de M e dê exemplo de autovetores associados a cada autovalor

10 Autovetores e Autovalores Teorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes: a) A é invertível. b) Ax=0 só tem a solução trivial. c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é I n. d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. e) Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1. f) Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1. g) det(A)0. h) A tem posto n. i) As linhas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IR n. j) As colunas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IR n. k) Zero não é um autovalor de A.

11 Diagonalização de operadores Seja T: V V um operador linear. Dizemos que T é um operador diagonalizável se existe uma base β de V cujos elementos são autovetores de T. A matriz que representa T na base β é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores de T, ou seja:

12 Diagonalização de operadores Seja M=[T] a matriz canônica do operador T e D a matriz de T na base β de autovetores, dizemos que T é diagonalizável se existe uma matriz P tal que D = P –1 MP. Onde P é a matriz cujas colunas são os autovetores de T e D=[T] β. Assim, a matriz D é obtida pela matriz P, quando ela existe, sobre a matriz M. Dizemos então que a matriz P diagonaliza M ou que P é a matriz diagonalizadora (P a matriz de mudança da base canônica para base de β). Quando sabemos que é possível encontrar a matriz P e obter D?

13 Diagonalização de operadores Teorema: Se M=[T] possui todas as raízes de seu polinômio característico reais e distintas então M é diagonalizável. Obs: raízes do polinômio característico reais e distintas autovetores associados a autovalores distintos são L.I existe uma base de autovetores para V Temos o seguinte resultado para matrizes simétricas: Teorema: Se M é uma matriz simétrica de ordem n então existe uma matriz ortogonal P tal que P –1 MP=D, D uma matriz diagonal. Os autovalores de M são elementos da diagonal D. (Lembrete: Matriz ortogonal P -1 =P T ).

14 Diagonalização de operadores Exemplo:


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