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PROBLEMA determinar um número que somado ao seu quadrado é igual a 12. x + x 2 = 12 Equações como esta são de fácil solução pois, após um árduo trabalho,

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2 PROBLEMA determinar um número que somado ao seu quadrado é igual a 12. x + x 2 = 12 Equações como esta são de fácil solução pois, após um árduo trabalho, matemáticos já descobriram uma fórmula para resolve-la. Entretanto, equações como x 6 + 2x – 1 = 0, não é possível resolver por meio de fórmula. (ainda não foi descoberta uma fórmula). x = -b + b 2 – 4ac 2a Já existe fórmula para solução de equações do terceiro grau. Faça uma pesquisa na Internet.

3 RAÍZES OU ZEROS DE UMA FUNÇÃO REAL Seja f(x) = 0 uma função com coeficientes reais, domínio R ou parte de R e contradomínio R ou parte de R. Tais funções são denominadas funções reais. Definição 1 – Dizemos que r é raiz ou zero da equação f(x) = 0 se f(r) = 0. Análise gráfica r1r1 r2r2 r3r3 Exemplo: f(x) = 6 x + ln x 2 é uma função real; f(x) = 3iz 2 + 4z + 2i com i = -1 não é função real.

4 DETERMINAÇÃO DE RAÍZES REAIS 1ª fase: - Localização ou isolamento das raízes. 2ª fase: - Refinamento. Nesta fase procura-se obter um intervalo que contenha a raiz. Usa-se um intervalo para cada raiz. Nesta fase, escolhida uma aproximação inicial no intervalo estabelecido na fase 1, melhora-se a aproximação por processo iterativo (usando a aproximação anterior) até que se obtenha uma raiz dentro da aproximação ou precisão prefixada.

5 ISOLAMENTO DAS RAÍZES se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e f(a).f(b) < 0 então existe pelo menos um valor r entre a e b que é zero de f(x). x1x1 x2x2 x5x5 f(x 5 ) > 0f(x 1 ) < 0 f(x 4 ) < 0 f(x 3 ) <0f(x 2 ) > 0 f(x 1 ). f(x 2 ) < 0 existe pelo menos uma raiz entre x 1 e x 2. x3x3 x4x4 f(x 3 ). f(x 4 ) > 0 não existe raiz. f(x 2 ). f(x 5 ) > 0 existe um número par de raízes.

6 f(x) = x 3 – 8x + 6 Observando a tabela verifica-se que ocorre mudança de sinal nos intervalos [-4, -3], [0, 1] e [2, 3]. Como a função é polinomial do terceiro grau, teremos apenas 1 raiz em cada um dos intervalo. f(x) = 50x 3 – 65x x – 3. Observa-se na tabela apenas uma mudança de sinal no intervalo [0, 1]. Pode-se esperar que exista 1ou 3 raízes nesse intervalo. USANDO TABELAS

7 Devido a incerteza, vamos analisar os intervalos onde a função é estritamente crescente ou decrescente. Vamos completar a tabela com os valores de x e f(x) para 0,31 e 0,554. Da nova tabela pode-se concluir que existe uma raiz em cada um dos intervalos [0, 031], [0,31; 0,554] e [0,554; 1]. Para isso, podemos derivar a função e fazer uma análise da mesma. Derivando f(x) = 50x 3 – 65x x – 3. Estudando a variação do sinal de f'(x): = – = 1300 x 1 ( ,05)/300 = 0,554 e x 2 = ( ,05)/300 = 0,31. Como, na derivada a > 0, teremos: f(x) > 0 (função crescente) para x < 0,31 ou x > 0,554 e f(x) < 0 (decrescente) para 0,31 < x < 0,554. f(x) = 150x 2 – 130x ,554 0,31

8 USANDO GRÁFICOS f(x) = 50x 3 – 65x x – 3 1 No intervalo [0, 1] existem três raízes.

9 MODIFICANDO A FUNÇÃO Uma equação do tipo f(x) = 0 pode ser escrita na forma f(x) = g(x) - h(x) = 0. Em conseqüência teremos g(x) = h(x). Construindo os gráficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos, as interseções dos dois gráficos fornecem as raízes de f(x). Seja, por exemplo: f(x) = x 2 – 6x - ln (2x + 8). Fazendo g(x) = x 2 – 6x (em azul) e h(x) = ln(2x + 8) (em vermelho), Teremos f(x) = g(x) – h(x). Fazendo f(x) = 0, g(x) = h(x). Analisando o gráfico observa-se que as curvas se interceptam nos intervalos [-1, 0] e [6, 7]. Existindo portanto, uma raiz em cada um dos intervalos.

10 MÉTODO DA BISSECÇÃO f(x) = x 2 – 6x + 5,76 Tem uma raiz no intervalo [1, 2] e outra no intervalo [4, 5].

11 Vamos determinar a raiz no intervalo [1, 2]. Toma-se como primeira aproximação o ponto médio do intervalo [1, 2]. x1x1 (x 1 +x 2 )/2x2x2 f(x 1 )f[(x 1 +x 2 )/x2f(x 2 ) Raiz 11,520,76-0,99-2,24entre 1 e 1,5 11,251,50,76-0,1775-0,99entre 1,5 e 1,25 11,1251,250,760, ,1775entre 1,125 e 1,25 1,1251,18751,250, , ,1775entre 1,1875 e 1,25 1,18751,218751,25 Raiz = 1,21875

12 1- Escreva a equação na forma f(x) = 0. (no caso 2x – 6 = 0) Resolução da equação 2x = 6 2 – No construtor gráfico construa o gráfico de f(x). 3 - Observe intervalo onde está localizada a raiz a ser determinada. 2 7 Digite aqui: 2x - 6 Usaremos o intervalo [2, 7]. Pode ser qualquer outro.

13 4 - Substitua as células C5 e E5 pelos limites do intervalo. 5 - Preencha a célula F5 com a fórmula da função. 7 - Copie as células F5, G5, H5 para as linhas seguintes até o final. 7 - Marque na célula K5 a precisão desejada. 8 - Se na coluna J for exibida a informação "raiz exata", não considerar as linhas seguintes. O x da equação é substituído pela Identificação da célula. No caso, C5. Na célula deve ser digitado: =2*C Copie a célula F5 para as células G5 e H5. A raiz, dentro da precisão estabelecida é: 3,00. Como a precisão é 0,01, o resultado deve ser dado com duas casas decimais.


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