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MÁXIMOS E MÍNIMOS Ao se estudar situações práticas relacionadas a conjunturas economias, administrativas e contábeis, é comum realizar perguntas como:

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1 MÁXIMOS E MÍNIMOS Ao se estudar situações práticas relacionadas a conjunturas economias, administrativas e contábeis, é comum realizar perguntas como: Qual quantidade devo comercializar para que o lucro seja Máximo? Qual quantidade devo estocar para que o custa de estoque seja mínimo?

2 y x

3 MÁXIMO LOCAL Um ponto c é considerado ponto de máximo relativo (local) se o valor de f(c) for o maior valor que a função assume para x numa vizinhança de c.

4 MÍNIMO LOCAL Um ponto c é ponto de mínimo relativo (local) se o valor de f(c) for o menor valor que a função assume para x numa vizinhança de c.

5 Máximos e Mínimos Absolutos (Globais) Máximo absoluto: se o valor c for o maior valor qual a função assume para todo x do domínio da função. Mínimo absoluto: se o valor c for menor valor qual a função assume para todo x do domínio da função

6 Crescimento e Decrescimento y = x 2 x y x aumenta => y aumenta Função crescente

7 f (x) > 0 => função crescente

8 Exemplo. Verifique se a função f(x) = 3x 2 – 6x é crescente ou decrescente em x = 4? Solução: f (x) = 6x - 6 f' (x) = 6.4 – 6 = 18 => função crescente

9 x y x aumenta=> y diminui Função decrescente

10 f (x) função decrescente

11 Exemplo. Verifique se a função f(x) = 3x 2 – 6 é crescente ou decrescente em x = 4? Solução: f (x) = 6x - 6 f' (x) = 6.4 – 4 = 20 => função crescente

12 FunçãoDerivada Crescentef(x) > 0 Decrescentef'(x) < 0 Resumo

13 Pontos críticos são pontos especiais da função onde é possível ocorrer as seguintes situações: máximo, mínimo ou não existir derivada.

14

15 Teste da derivada primeira Permite classificar se um ponto crítico é ou não ponto de máximo/mínimo relativo Calculando o valor da derivada primeira para pontos à esquerda e à direita dos pontos críticos, verificamos se a função é crescente ou decrescente, concluindo se o ponto crítico é ou não máximo/mínimo relativo

16 Exemplo: O preço de um produto foi analisado no decorrer dos meses e constatou-se que pode ser aproximado pela função p(t) = t 3 – 6t 2 + 9t + 10, onde t representa o número do mês a partir do mês t = 0, que marca o início das análises. Esboce o gráfico da função para os cinco primeiros meses a partir do início das análises, indicando, se existirem, pontos de máximo ou mínimos (relativos e absolutos) para o preço do produto.

17 Passo 1: Determinar a derivada de p(t) Passo 2: Resolver a equação p(t) = 0 para determinar os pontos críticos da função. t = 1 e t = 3 (candidatos a máximo ou mínimo)

18 Passo 3: Verificar se t = 1 é ponto de máximo ou mínimo: Escolher pontos à esquerda e a direita de 1. Por exemplo: t = 0 e t = 2 e calcular p(0) e p(2) p (0) = = 9 p (2) = = é máximo relativo.

19 Verificar se t = 3 é ponto de máximo ou mínimo: Escolher pontos à esquerda e a direita de 3 Por exemplo: t = 2 e t = 5 e calcular p(2) e p(5) p (2) = = - 3 p (5) = = 24 3 é mínimo relativo.

20 Passo 4: Encontrar o mínimo local Substituir t = 3 na função: p(3) = 3 3 – = 10 Encontrar o máximo local Substituir t = 1 na função: p(1) = 1 3 – = 14

21 Passo 5: Encontrar os extremos esquerdo e direito do intervalo da função. Para isto, substituir estes extremos (t = 0 e t = 5) e encontrar os respectivos preços p(0) = 0 3 – = 10 p(5) = 5 3 – = 30

22 t p Passo 6: Reunir as informações em um gráfico


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