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Análise de Sensibilidade. Foram considerados que os todos os coeficientes que apareciam em um problema de programação linear eram fixos. Também consideramos.

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1 Análise de Sensibilidade

2 Foram considerados que os todos os coeficientes que apareciam em um problema de programação linear eram fixos. Também consideramos constantes, até aqui, os termos independentes das restrições, o seu lado direito. Em uma situação real, todos esses coeficientes podem sofrer variações. Ao estudo de como a solução ótima varia, caso variem seus coeficientes, chamamos de Análise de sensibilidade.

3 1. An á lise dos coeficientes da fun ç ão objetivo Maximizar 3x + 2y 5x + 2y < 12 x + 2y < 4 x, y > 0 6 2,4 2 4 C

4 Na primeira restri ç ão, 5 e 2 são os coeficientes de x e y. Na segunda restri ç ão, 1 e 2 são os coeficientes de x e y. A questão a se levantar é : at é que ponto podem variar os coeficientes da fun ç ão objetivo sem que varie a solu ç ão ó tima? Ou seja, qual é o intervalo de varia ç ão dos coeficientes da fun ç ão objetivo que mant é m a solu ç ão ó tima?

5 Como j á percebeu, tanto as restri ç ões quanto a fun ç ão objetivo estão representadas apenas por segmentos de reta. Nosso estudo se baseia na possibilidade de girarmos o segmento correspondente à fun ç ão objetivo, fazendo com que suas extremidades se movimentem sobre os eixos x e y.

6 Se girarmos a reta no sentido hor á rio, significa aumentar o coeficiente de x e reduzir o coeficiente de y. Vale ressaltar ainda que apesar da possibilidade de girarmos a reta da fun ç ão objetivo, a solu ç ão ó tima continua sendo representada pelo ponto C. 6 2,4 2 4 C

7 Conclusão: Se a reta da função objetivo girar apenas dentro da região sombreada, o ponto C será mantido como solução. Em outros termos, girar no interior das restrições significa que há um coeficiente mínimo e outro máximo, tanto para a variável x quanto para a variável y, entre os quais podem variar os coeficientes da função objetivo.

8 Determinação dos intervalos ótimos: 1. Intervalo ótimo para a função objetivo quando a variável está na base. 2. Intervalo ótimo para a função objetivo quando a variável não está na base. 3. Intervalo ótimo para os termos independentes.

9 1.Intervalo ó timo para os coeficientes da fun ç ão objetivo, quando a vari á vel est á na base (40; 40) (60; 20) Solução ótima (40; 40)

10 Determina ç ão dos intervalos ó timos generalização da função objetivo: c 1 x + c 2 y Para encontramos tais intervalos devemos: - identificar as retas limites da Função Objetivo; - igualar os coeficientes de y em cada restrição ao coeficiente de y na função objetivo e verificar a variação de x (variação de c 1 ). - igualar os coeficientes de x em cada restrição ao coeficiente de x na função objetivo e verificar a variação de y (variação de c 2 );

11 Variação de c 1 Função Objetivo: x + 3y 2 Restrição 1 2x + 2y < 160 ÷ 2 x + y < x + 3y < 240 ÷ 2 3x + 3y < Restrição 2 x + 2y < 120 ÷ 2 x + y < x + 3y < ÷ 2 3x + 3y < Conclusão 3 < c 1 < 3 4 2

12 Variação de c 2 Função Objetivo: x + 3y 2 Restrição 1 2x + 2y < 160 ÷ 2 x + y < 80 Restrição 2 x + 2y < 120 Conclusão 1 < c 2 < 2

13 Intervalo ótimo para os coeficientes da função objetivo, quando a variável não está na base (40; 40) (60; 20) Solução ótima (70; 0) 2x + (1/2)y

14 Para encontramos o intervalo desejado, devemos lembrar que se a variável não está na base, ela não contribui para alterar a solução dada pela função objetivo (já que seu valor é zero). Portanto, o intervalo ótimo para uma variável que não está na base é dado a partir do seu limite na região gráfica.

15 Solução ótima: (70; 0) y = 0 => não está na base Limite de y na região: y = 60 Proveniente da restrição: x + 2y < 120 Igualando o coeficiente de x ao da função objetivo 2 2x + 4y < 240 Portanto: c 2 < 4

16 Exercícios: Encontre os intervalos ótimos para os coeficientes de x e y da função objetivo em cada caso:

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18 3. Intervalo ótimo para os termos independentes A variação nos coeficientes da função objetivo não altera a região permitida para a solução. Entretanto, ao realizarmos variações no lado direito das restrições a região permissível para a solução é alterada.


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