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Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira MODELOS EXPONENCIAIS Fenômenos que ocorrem frequentemente na natureza e em situações.

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1 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira MODELOS EXPONENCIAIS Fenômenos que ocorrem frequentemente na natureza e em situações do cotidiano, tais como: Decomposição de materiais radioativos (Estimativa de idade fóssil); Resfriamento de corpos (Polícia científica); Crescimento populacional (de bactérias, entre outras); Rendimento de aplicações financeiras; Pressão atmosférica em relação ao nível do mar; Concentração de um medicamento no organismo; etc. podem ser MODELADOS MATEMATICAMENTE com a utilização de um tipo de função chamada (ou classificada) como FUNÇÃO EXPONENCIAL.

2 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira MODELOS EXPONENCIAIS O estudo da bactéria Escherichia coli, comumente encontrada no intestino humano, é um bom exemplo para entender o crescimento exponencial. Sob condições ideais, uma célula de Escherichia coli divide-se em duas células a cada vinte minutos, aproximadamente. APÓS 20 MINUTOS... APÓS 40 MINUTOS...

3 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira MODELOS EXPONENCIAIS Observe o que está acontecendo nessa situação: TEMPO QUANTIDADE (em minutos) DE BACTÉRIAS 01Instante da contaminação 202 ou 1 x 2 ou ou 2 x 2 ou ou 4 x 2 ou ou 8 x 2 ou 2 4 COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ???

4 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira MODELOS EXPONENCIAIS COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ??? Esse modelo matemático deve ser capaz de prever a quantidade de bactérias que existirá no organismo após um determinado tempo. Ou seja, esse modelo terá que responder as seguintes perguntas: 1) Quantas bactérias existirão após 5 horas, isto é, 300 minutos? 2) Quantas bactérias existirão após t minutos? 3) Quanto tempo demora para que se ultrapasse bactérias? 4) Quanto tempo demora para que se ultrapasse N bactérias?

5 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira MODELOS EXPONENCIAIS Uma possibilidade seria: TEMPO QUANTIDADE (em minutos) DE BACTÉRIAS ou 1 x 2 ou ou 2 x 2 ou ou 4 x 2 ou ou 8 x 2 ou 2 4 COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ???

6 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira MODELOS EXPONENCIAIS Uma possibilidade seria: TEMPO QUANTIDADE DE BACTÉRIAS 01 2 ou 1 x 2 ou ou 2 x 2 ou ou 4 x 2 ou ou 8 x 2 ou 2 4 COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ??? (t) OBSERVE QUE, nesse modelo, t = 1 = 20 minutos t = 2 = 2 x 20 minutos; etc

7 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira MODELOS EXPONENCIAIS Desta forma, chamando de N a quantidade de bactérias e t o número de períodos de 20 minutos, então o modelo matemático pode ser expresso por: COMO MODELAR ESSA SITUAÇÃO ??? Voltando às perguntas... 1) Quantas bactérias existirão após 5 horas, isto é, 300 minutos? Como 300/20 = 15, Então t = 15.

8 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira MODELOS EXPONENCIAIS 2) Quantas bactérias existirão após t minutos? A resposta é o próprio modelo matemático. 3) Quanto tempo demora para que se ultrapasse bactérias? Observando a tabela, temos: Quando N>10000, então t=14 e o tempo é 20x14 = ) Quanto tempo demora para que se ultrapasse N bactérias? Estudaremos EQUAÇÕES e INEQUAÇÕES exponenciais para responder questões como esta !!

9 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira MODELOS EXPONENCIAIS PROBLEMAS 1) Crie um modelo para estimar a população de uma bactéria que se divide a cada 15 minutos. Depois, responda as mesmas questões do primeiro modelo estudado. 2) Crie um modelo para estimar a população de uma bactéria que se divide a cada 30 minutos e que, em um exame feito em uma pessoa contaminada, estimou-se que já haviam bactérias.

10 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS JUROS COMPOSTOS (Poupança) Situação: Você aplicou R$ 1.000,00 em uma poupança e deseja saber quanto terá daqui a x meses. Considerando que a poupança rende, em média, 0,65% ao mês, o modelo que nos fornece o Montante aplicado (M) em função do tempo x (em meses) é:

11 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS JUROS COMPOSTOS (Poupança) OBSERVE QUE... VALOR APLICADO INICIALMENTE TAXA DE JUROS NA FORMA DECIMAL

12 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS JUROS COMPOSTOS (Poupança) GRÁFICO

13 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS JUROS COMPOSTOS (Empréstimo Bancário) Situação: Você tomou emprestado R$ 1.000,00 de um banco e deseja saber quanto estará devendo daqui a x meses. Considerando que, para esse empréstimo, o banco estipulou um juros de 2% ao mês, o modelo que nos fornece o Montante devido (M) em função do tempo x (em meses) é:

14 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira OUTROS MODELOS EXPONENCIAIS JUROS COMPOSTOS (Poupança) GRÁFICO

15 Exponencial e Logaritmos Matemática Prof.Rodrigo Lopes de Oliveira MODELOS EXPONENCIAIS PROBLEMAS 1) Na situação da Poupança... Determine o Montante após 6 meses de aplicação. 2) Na situação do Empréstimo... Determine o Montante após 6 meses de aplicação. 3) A fórmula que nos fornece a pressão atmosférica em determinado local é uma função exponencial dada por: onde P é a pressão do ar em atmosferas e h é a altura em quilômetros. Crie uma tabela e um gráfico desta função exponencial.


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