Produtos entre Vetores

Apresentação em tema: "Produtos entre Vetores"— Transcrição da apresentação:

1 Produtos entre Vetores
Produzido pelo Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz Março

2 PRODUTO ESCALAR Definição: Sejam u e v. O produto escalar entre esses vetores, denotado por u · v , é um número real determinado por u · v = |u|·|v|·cos, onde  é o ângulo entre u e v. Propriedades: 1) Comutativa: u · v = v · u,  u e v 2) u · v = 0 um deles é o vetor nulo ou se u e v são ortogonais ( = 90º) 3) u · u = | u |2 4) (mu)·(nv ) = (m·n)·(u · v ),  u e v e  m e nR 5) ( u + v)·w = ( u · w )+( v · w )

3 Expressão Cartesiana do Produto Escalar


4

5 Interpretação Geométrica do Produto Escalar
Sejam u e v dois vetores quaisquer. Então existe um vetor a paralelo a u e um vetor b ortogonal a u, tais que v = a + b. Vamos determinar a projeção do vetor v na direção do vetor u. b v a u     

6 PRODUTO VETORIAL Definição: Sejam u e v. O produto vetorial entre esses vetores, denotado por u  v , é vetor com as seguintes características: Módulo: Direção: Ortogonal ao plano que contem u e v. Sentido: Regra da mão direita.

7 Propriedades do Produto Vetorial

8 Expressão Cartesiana do Produto Vetorial
k j

9 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial
Sejam u e v dois vetores não paralelos.  

10 PRODUTO MISTO Definição: Sejam u , v e w . O produto misto entre esses vetores é um número real, denotado e definido por: Expressão Cartesiana do Produto Misto

11 Propriedades do Produto Misto
Lembrando que: é a condição de coplanaridade entre 3 vetores. Logo:

12 Interpretação Geométrica do Produto Misto
Sejam u , v e w três vetores não coplanares.

13 Exercícios