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Zero de função. Problema  O cálculo de raízes de funções encontra um grande emprego na obtenção da solução de uma vasta gama de problemas de engenharia.

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1 Zero de função

2 Problema  O cálculo de raízes de funções encontra um grande emprego na obtenção da solução de uma vasta gama de problemas de engenharia.  Em geral, trata-se de determinar o(s) valores de x tal que f(x)=0, onde f é a função cujo raízes são a determinar.

3 Métodos matemáticos  A matemática fornece métodos formais que permite a determinação exata das raízes em diversos casos.  Os métodos mais conhecido permitem a determinação de raízes de polinômios ate grau 3, ou grau maior mais em certas condições.  Em muitas situações, a resolução matemática necessita de intuição para que elas sejam transformadas em casos resolvíveis.

4 Exemplos  Polinômios do primeiro e segundo grau ou transformáveis em polinômios do primeiro ou segundo grau:  Funções cuja a recíproca é conhecida:

5 Determinação gráfica  A representação gráfica de uma função é uma fonte de informações úteis sobre o comportamento da função, particularmente para a determinação das raízes.  Além disso, o grafo permite de compreender o funcionamento dos métodos numéricos para determinar as raízes.

6 Raízes com gráfico Raízes são dadas pelos pontos de interseção do grafo com o eixo dos x.

7 Métodos numéricos  Mesmo com um método formal, o(s) valor(es) calculado(s) pelo computador é aproximado, a não seja usar um CAS.  Existem métodos numéricos que permite aproximar as raízes em casos gerais, inclusivo casos que a matemática não resolva de formalmente.

8 Métodos numéricos  Vamos estudar três métodos de determinação de raízes: Bisseção Secante Newton-Raphson

9 Bisseção  Th: Se y=f(x) é uma função contínua e muda de sinal no intervalo [a,b] (isto é se f(a).f(b)<0), então existe pelo menos um ponto x 0  [a,b] tal que f(x 0 )=0.  Além disso, se f’(x) não muda de sinal em [a,b], x 0 é a única raiz de f(x) nesse intervalo.

10 Bisseção  Para se aproximar de uma raiz, o princípio da bisseção consista em reduzir o intervalo inicial testando o sinal de f(x) para o ponto médio do intervalo.  Considerando o intervalo [a,b] Se, o novo intervalo e [a,(a+b)/2] Se, o novo intervalo e [(a+b)/2,b]

11 Algoritmo  Raiz(f,a,b,tol) Enquanto (|a-b|>tol) x=(a+b)/2 Se f(x).f(a)<0  b=x Senão  a=x Resultado=(a+b)/2

12 Bisseção  Esse método, com um bom escolhe do intervalo inicial, é adaptado com a representação dos números do computador: a divisão por 2 a cada passo é uma operação simples.  A convergência do algoritmo é garantida, o algoritmo não saia do intervalo inicial, esse intervalo é cada vez dividido por dois,  A convergência é muito lenta: para ganhar uma decimal (base 10), preciso de 3 a 4 passos.

13 Secante  O método da secante funciona sobre o mesmo princípio que a bisseção e necessita da mesma condição inicial: continuidade da função.

14 Secante  Com esse método, determinamos um ponto a partir da assimilação da curva com um segmento passando pelos pontos (X E, f(X E )) e (X D, f(Y D )). O candidato para ser raiz é o ponto de interseção desse segmento com o eixo x.

15 Secante  Determinação de X N: Temos a relação: De onde podemos extrair X N :

16 Secante  O segmento (XN,f(XN)); (XD,f(XD)) é usado para determinar o valor do passo seguinte.

17 Algoritmo  Raiz(f,a,b,iter) Repete iter vezes b=(b.f(a)-a.f(b))/(f(a)-f(b)) Resultado=b

18 Falsa posição  O método da falsa posição aparece como uma combinação entre o método da secante e a bisseção. As condições iniciais são as mesma que no caso da bisseção (intervalo onde a função troca de sinal).

19 Falsa posição  Como no caso da secante, determinamos um ponto a partir da assimilação da curva com um segmento passando pelos pontos (X E, f(X E )) e (X D, f(Y D )).  Temos:

20 Falsa posição  No caso da falsa posição, o novo segmento é determinado em função dos sinais de f(XN)f(XD) e f(XN)f(XE).  Se f troca de sinal entre XE e XN, o novo intervalo é [XE, XN], senão o novo intervalo é [XN, XE].

21 Algoritmo  Raiz(f,a,b,iter) Repete iter vezes x=(b.f(a)-a.f(b))/(f(a)-f(b)) Se f(x).f(a)<0, b=x Senão a=x Resultado=x

22 Newton-Raphson  O método de Newton- Raphson não precisa de um intervalo inicial. Ela considera que a curva no ponto inicial pode ser aproximada com a reta tangente à curva nesse ponto.

23 Newton-Raphson  De forma equivalente, consista também a considerar a função como aproximada nesse ponto pela série de Taylor de 1° grau: f(x1)=f(x0)+(x1-x0).f’(x0)  Determinação de X N: XN=XD-f(XD)/f’(XD)

24 Newton-Raphson  Por um processo iterativo, a raiz pode ser aproximada: x i+1 =x i -f(x i )/f’(x i )

25 Algoritmo  Raiz(f,x0,iter) X=x0 Repete iter vezes X=X-f(X)/f’(X) Resultado=X

26 Newton-Raphson e Secante  Os dois métodos de secante e Newton- Raphson são próximos. O método da secante é o método de Newton-Raphson aonde a derivada no ponto inicial é substituída pela diferencia finita. A vantagem da secante é que não é necessário conhecer a função derivada.

27 Convergência  A convergência desses métodos é em geral mais rápida que no caso da bisseção. O método da bisseção usa sempre o mesmo algoritmo para qualquer função enquanto os outros métodos usam o comportamento da curva (diferencia finita ou derivada) para se aproximar da raiz.

28 Convergência  Se Newton-Raphson e Secante podem ser mais eficiente, elas podem ser também com dificuldade de convergência se a função tem variação do sinal da derivada próxima da raiz procurada.

29 Convergência  Vários critérios podem ser usados para decidir de para a aplicação do algoritmo: um número dado de iterações, quando a diferencia entre dois passo de uma iteração é menos que um erro |x i+1 -x i |<  quando o valor da função em x i é perto de 0 |f(x i )|<  quando os dois últimos critérios não para o algoritmo, ele pode ser parado porque considerado como não convergente.


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